Функции случайных величин

[Otta]

Да ну не гадайте же Вы. (Тем более настолько невпопад.) Вот у Вас
$P\{-\sqrt{t} <X<\sqrt{t}\} = ...$ а, да, кстати, чему она равна в общем случае? от чего там дальше интеграл?

[Limit79]

Otta
От плотности распределения.

$$P\{a<X<b\} = \int\limits_{a}^{b} f(x) dx$$

, где $f(x)$ -- плотность распределения с.в. $X$.

[iifat]

Таки закройте глаза, забудьте про всё кроме условия задачи и скажите: чему равна $P\{X^2<16\}$?

[Otta]

Limit79 в сообщении #918328 писал(а):

От плотности распределения.

Так вот эта плотность на разных участках - разная. Берете Вашу чудную формулу, пишете $P\{-\sqrt{t} <X<\sqrt{t}\} = \text{нужный интеграл от} f=$, смотрите, где какая $f$ на Вашем промежутке...надо ли, может, промежуток, разбить,... только $t$ возьмите для начала конкретное. Двоечку, например. Волнуюсь я.

[Limit79]

iifat

$$P\{X^2<10\} = P\{-\sqrt{10}<X<\sqrt{10}\} = \int\limits_{-\sqrt{10}}^{-1} 0 dt + \int\limits_{-1}^{1} \frac{1}{2} dt + \int\limits_{1}^{\sqrt{10}} 0 dt = 1$$

[Otta]

Гы. ) iifat, правда, совсем другого рассуждения от Вас ждал.

А двоечка Вам чем не нравилась, а, Limit79?
Ну вот и смотрите, при каких значениях $t$ Вы интеграл будете считать все еще так, а при каких - уже иначе?

[Limit79]

Otta
При $t=2$:

$$P\{-\sqrt{2}<X<\sqrt{2}\} = \int\limits_{-\sqrt{2}}^{-1} 0 dt + \int\limits_{-1}^{1} \frac{1}{2} dt + \int\limits_{1}^{\sqrt{2}} 0 dt = 1$$

Для каких-то конкретных значений $t$ я могу вычислить, так как если дан конкретный отрезок, то я могу определить, каким образом задается плотность на том или ином отрезке, а в общем случае при $P\{-\sqrt{t}<X<\sqrt{t}\}$ я не могу понять что мне интегрировать... а вот тут я забыл, что $t>1$

-- 13.10.2014, 03:52 --

Если $t>1$, то может так:

$$P\{-\sqrt{t}<X<\sqrt{t}\} = \int\limits_{-\sqrt{t}}^{-1} 0 dt + \int\limits_{-1}^{1} \frac{1}{2} dt + \int\limits_{1}^{\sqrt{t}} 0 dt = 1$$

?

[Otta]

Ну ладно. А если $t=\pi^2/9$? Так же?

-- 13.10.2014, 05:54 --

Limit79 в сообщении #918333 писал(а):

Если $t>1$, то может так:

Ну слава всем святым. Наконец-то.

[Limit79]

Otta в сообщении #918334 писал(а):

А если $t=\pi^2/9$? Так же?

Да, так же, так как $\frac{\pi^2}{9} > 1$.

-- 13.10.2014, 03:57 --

То есть

$$F_{Y}(t) = \left\{\begin{matrix} 0, t \leqslant0\\ \sqrt{t}, 0 < t \leqslant 1 \\ 1, t>1 \end{matrix}\right.$$

?

[Otta]

Да.
Какой да. На промежутки смотрите. Когда она единице равна?

[Limit79]

И еще вопрос:

Для $E(Z)$ и $D(Z)$ нужно найти плотность $f_{Z}(t)$ а потом по стандартным формулам?

А $K(X,Z)$ -- это корреляционный момент?

-- 13.10.2014, 04:02 --

Otta
Извините, тут опечатался, единице она равна при $t>1$, исправил.

[Otta]

Limit79 в сообщении #918339 писал(а):

Для $E(Z)$ и $D(Z)$ нужно найти плотность $f_{Z}(t)$ а потом по стандартным формулам?

Вообще говоря, не нужно. Известно, как искать моменты функции с.в.

Limit79 в сообщении #918339 писал(а):

А $K(X,Z)$ -- это корреляционный момент?

Возможно. Я не встречала такого его обозначения. Смотрите в своих записях.

[Limit79]

Otta
Формулы нашел, буду пробовать.

Спасибо Вам большое!

-- 13.10.2014, 04:51 --

Я попробовал найти все остальное:

$$E(Z) = \int\limits_{-1}^{1} (-2t+3) \cdot \frac{1}{2} dt = ... = 3$$

$$D(Z) = \int\limits_{-1}^{1} (-2t+3 - E(Z))^2 \cdot \frac{1}{2} dt = ... = \frac{4}{3}$$

Так же нашел $f_{Z}(t)$ и посчитал по другим формулам -- как ни странно, но результаты сошлись


$K(X,Z) = E(X,Z) - E(X) \cdot E(Z)$

$$E(X) = \int\limits_{-1}^{1} t \cdot \frac{1}{2} dt = 0$$

.

Осталось найти только $E(X,Z)$, если кто подскажет как -- буду Вам очень благодарен.

[Otta]

Limit79 в сообщении #918342 писал(а):

$E(X,Z)$

Там вообще-то матожидание произведения.

Я бы вообще на Вашем месте для такой простой (линейной) зависимости не пускала в ход тяжелую артиллерию. Вполне достаточно общих свойств матожидания и дисперсии. Для ковариации тоже. Она линейна по каждому аргументу.

Судя по уровню сложности Ваших задач, именно это решение от Вас и ожидается, что-то сильно непохоже, что Вам рассказывали, как считать матожидание функции случайного вектора.

[Limit79]

Otta в сообщении #918344 писал(а):

Там вообще-то матожидание произведения.

Ваша правда

Otta в сообщении #918344 писал(а):

Вполне достаточно общих свойств матожидания и дисперсии. Для ковариации тоже. Она линейна по каждому аргументу.

Вы про это:

$E(Z) = E(-2X+3) = -2 E(X) + 3 = -2 \cdot 0 + 3 = 3$

$D(Z) = D(-2X+3) = 4 D(X) + 0 = 4 \cdot \frac{1}{3} = \frac{4}{3}$

?