Классическая механика

[DaniilK]

Частица $A$ движется в одну сторону по траектории с тангенциальным ускорением $a_\tau=\vec{\alpha} \vec{\tau}$, где $\alpha$ — постоянный вектор, совпадающий по направлению с осью X, а $\tau$ — орт, связанный с частицей $A$ и направленный по касательной к траектории в сторону возрастания дуговой координаты. Найти скорость частицы как функцию $x$, если в точке $x=0$ ее скорость равна нулю.
Первая часть решения такова:
(1) $a_\tau=vdv/ds$ или
(2) $vdv=a_\tau ds$, $vdv=(\vec{\alpha} \vec{\tau})ds=\vec{\alpha}d\vec{r}$
(3) $vdv=\alpha\vec{i}d\vec{r}=\alpha dx$
Мне не понятно, что означает формула $a_\tau=vdv/ds$. Поясните пожалуйста или быть может подскажите литературу.

[DaniilK]

[Munin]

Возьмите стандартную $a_\tau=dv/dt,$ и перейдите к дифференцированию по переменной $ds.$ Что получится?

[DaniilK]

$a_\tau=\frac{dv}{dt}=\frac{dv}{ds}\frac{ds}{dt}=\frac{vdv}{ds}$
Какой смысл здесь имеет $\frac{dv}{ds}$?
В (2) как из $(\vec{\alpha} \vec{\tau})ds$ получается $\vec{\alpha}d\vec{r}$? Если $(\vec{\alpha} \vec{\tau})$ скалярное произведение, то $(\vec{\alpha} \vec{\tau})=|\vec{\alpha}||\vec{\tau}|\cos\varphi=|\vec{\alpha}|\cos\varphi$ (т.к. $|\vec{\tau}|=1$), где $\varphi$ угол между векторами $\vec{\alpha}$ и $\vec{\tau}$. Тогда $(\vec{\alpha} \vec{\tau})ds=|\vec{\alpha}|\cos\varphi ds$.

[Munin]

DaniilK в сообщении #917850 писал(а):

Какой смысл здесь имеет $\frac{dv}{ds}$?

Просто всё движение можно параметризовать как по параметру $t,$ так и по параметру $s$ (пока тело не начинает останавливаться и идти назад по траектории). Вот мы и рассматриваем все кинематические величины как определённые в каждой точке траектории (указанной величиной $s$), и можем брать соответствующие производные по траектории. Разумеется, для любых дифференциальных соотношений выполняется подстановка $d/dt=v\,d/ds.$

DaniilK в сообщении #917850 писал(а):

В (2) как из $(\vec{\alpha} \vec{\tau})ds$ получается $\vec{\alpha}d\vec{r}$?

Вносим $ds$ под скобку, и замечаем, что $\vec{\tau}\,ds=d\vec{r}.$

Тут намного меньше премудростей, чем вы себе воображаете :-) Скорее, просто элементарные вычисления, только векторные. К ним надо немного привыкнуть, и вы сами сможете ими жонглировать с той же лёгкостью.

-- 12.10.2014 11:39:24 --

P. S. Заметим, что постоянство $\alpha$ нигде не используется (то есть, она может быть и не постоянной), а итоговая формула (3) по сути означает, что приращение кинетической энергии равно работе силы.

[DaniilK]

Если $\vec{\tau}\,ds=d\vec{r}$, то $\vec{\tau}=\frac{d\vec{r}}{ds}$? Но как мы получили $\vec{\tau}=\frac{d\vec{r}}{ds}$, где вектор $\vec{\tau}$ - единичный вектор, направленный по касательной, а $\vec{r}$, как я понял, радиус-вектор точки $A$?

[Munin]

На вопрос "как мы получили" можно отвечать по-разному, в том числе и так, как вы: взять предыдущее равенство, и поделить на $ds.$

Но чувствую, вас интересует не "как получили", а скорее, какой смысл у этого равенства, и как такое равенство получать самому при надобности.

Попробуйте представить себе конечное (но малое) перемещение по траектории, и нарисуйте для него чертёж, на котором отметьте $d\vec{r},ds,\vec{\tau}.$ Учтите, что величины с $d$ и без $d$ вам придётся рисовать "в разных масштабах".

Можно также записать все векторы в координатах. Тогда вы заметите, что $d\vec{r}=(dx,dy),$ $\vec{\tau}=(\cos\varphi,\sin\varphi),$ и $dx,dy$ можно выразить через $ds,\varphi$ и наоборот.

[arseniiv]

Если этого явно не было произнесено и вдруг не было ясно, добавлю, что $s$ — натуральный параметр траектории, т. е. длина пути между точками $\vec r\,\big\rvert_{s = s_1}$ и $\vec r\,\big\rvert_{s = s_2}$ равна $|s_2-s_1|$. (Натуральная параметризация есть у любой кривой, не только у каких-то физических траекторий.)

[Munin]

Ну, в контексте механики-то это очевидно, скорее, студент может знать понятие "путь", но не знать названия "натуральный параметр линии".

[arseniiv]

Показалось, что возможность параметризации путём не так очевидны.

[DaniilK]

При очень малых $ds$ и $d\vec{r}$, вектор $d\vec{r}$ будет совпадать с вектором $\vec{\tau}$, который направлен по касательной к траектории, и тогда $\frac{d\vec{r}}{|d\vec{r}|}=\vec{\tau}$.
Из рисунка видно, что ${|d\vec{r}|}=ds$ и мы получаем $\frac{d\vec{r}}{ds}=\vec{\tau}$. Мои рассуждения верны?

А $\vec{i}d\vec{r}=|\vec{i}||d\vec{r}|\cos\alpha'=|d\vec{r}|\cos\alpha'=dx$ т.е. $|d\vec{r}|\cos\alpha'$ проекция вектора $d\vec{r}$ на ось $X$?

[Munin]

DaniilK в сообщении #918243 писал(а):

вектор $d\vec{r}$ будет совпадать с вектором $\vec{\tau}$

Нет. Он будет совпадать с ним по направлению. Но длина этих векторов будет совершенно разная: длина $d\vec{r}$ очень малая, а длина $\vec{\tau}$ всегда единица.

Дальше рассуждения верны. И следующий вопрос - тоже верно.

[DaniilK]

Большое спасибо, Munin. Вы мне очень помогли

[DaniilK]

arseniiv, мне пока смутно представляется понятие "параметризация кривой", но спасибо)