задачи на делимость с факультатива

[fadetoblack]

мне вот тут на факультатив задач дали... тока я половину решbть не могу...
1. найти пары натуральных чисел m и n, для которых НОК(m;n)=(m-n)^2
2. существуют ли целые числа x, y, z, t такие, что x+y+z+t=xyz+xyt+xzt+yzt=1997 ?
3. существует ли такое натуральное число c, что все числа вида n^2+n+c, где n-любое натуральное число представимы в виде суммы двух квадратов?
4. число 1144664411 представить в виде суммы наименьшего возможного числа четвёртых степеней натуральных чисел.
5. Доказать, что каждое натуральное число является разностью двух натуральных чисел, имеющих одинаковое количество простых делителей.
6. Четыре натуральных числа таковы, что квадрат суммы любых двух из них делится на произведение двух оставшихся. Докажите, что по крайней мере три из этих чисел равны между собой.
7. Найдите все натуральные n такие, что n^2 имеет в 3 раза больше делителей, чем n.
8. можно ли все простые числа, меньшие 100, выписать в ряд так, чтобьы ни сумма, ни разность рядом стоящих чисел не делилась на 5?

я из этого сделал только 4-ую и 7-ю... а вот например как делать 3 и 5 я не совсем и представляю... хотя в 5 я рассмотрел несколько случаев... но у меня сколько не рассматривай всё равно 1 случай остаётся, из-за которого ничего не получается...

Добавлено спустя 1 минуту 26 секунд:

забыл...

в 3-ей задаче забыл написать, что n-любое натуральное число

[maxal]

3. заметьте, что если такое $c$ существует, то оно должно быть четно, но так как $n^2+n$ пробегает все четные вычеты по модулю $8$, то найдется такое $n$, что $n^2+n+c\equiv 6\pmod{8}$ и в этом случае $n^2+n+c$ не может быть суммой двух квадратов.

[fadetoblack]

мне вот ещё задачка интересная на мой взгляд вспомнилась с нашей недавней олимпиады... дело просто в том, что я до сих пор не знаю решения и не могу решить...

Костя решил уравнения f(x)=10 , f(x)=15 у этих уравнений оказалось соответственно 10 и 15 различных действительных корней. Доказать, что среди 25 найдённых чисел найдётся по крайней мере одно, при котором f'(x)=0 f(x)-многочлен с действительными коэффициентами.

Я вот графически пробовал решать .. никак что-то не получается. Если кто решит(а кто-нибудь точно решит, я почти уверен в этом) - пишите решения, я буду вам благодарен

Добавлено спустя 6 минут 2 секунды:

это почему?

хм.... я может что-то не догоняю, но у меня возникает такой вопрос: а почему если с существует, то оно обязательно чётное!?

[maxal]

fadetoblack, рассмотрите по отдельности случаи, когда степень $f(x)$ четна и когда нечетна и воспользуйтесь тем, что количество комплексных корней многочлена всегда четно.

По поводу $c$ - если оно нечетно, то найдется такое $n$, что $n^2+n+c\equiv 3\pmod{4}$.

[fadetoblack]

по поводу с согласен, спасибо))) .. я вроде после вашего первого решения к такому же пришёл ...

а вот то, что количество комплексных корней многочлена всегда чётно .. это известный факт? просто я такого ни разу не слышал ... ((( если это использовать, то решение ведь вообще детское!? получается с одной стороны степень многочлена нечётная, а с другой - чётная .. это если предположить противное тому, что надо в задаче доказать ...так ведь, я правильно понимаю?

[Brukvalub]

fadetoblack писал(а):

а вот то, что количество комплексных корней многочлена всегда чётно .. это известный факт?

maxal учитывал Ваше условие:

fadetoblack писал(а):

f(x)-многочлен с действительными коэффициентами.

[fadetoblack]

ну я так и понял .. просто я как бы пока что с действительными только и имею дело ... комплексных я ещё не знаю, в школе этому вроде не учат...
Ну тогда ок, задача решена. Спасибо. Кстати я так смотрю maxal - хороший модератор! не зря видимо его сюда поставили

[maxal]

fadetoblack писал(а):

1. найти пары натуральных чисел m и n, для которых НОК(m;n)=(m-n)^2

Для каждого простого числа $p|mn$ докажите, что его степени, входящие в разложение на простые чисел $n$ и $m$, соотносятся как 1:2 или 2:1. Откуда следует, что НОК(m,n)=(mn)^{2/3}, то есть если $m>n$, то $m-n=(mn)^{1/3}$.
Откуда $m=\frac{k^3+k^2-k-1}{8}$ и $n=\frac{k^3-k^2-k+1}{8}$, $k$ - любое нечетное число.

[fadetoblack]

Цитата:

докажите, что его степени, входящие в разложение на простые чисел $n$ и $m$, соотносятся как 1:2 или 2:1

я до этого догадывался, т.к. на примерах было видно . Н доказать я этого не могу....

Добавлено спустя 6 минут 43 секунды:

хотя нет .. извиняюсь ... это несложно доказать .. получилось))) ... спешу видимо.... тока вот теперь у меня проблема с решением $m-n=(mn)^{1/3}$.

[Антипка]

Первую задачу можно решить "более тупо":
Пусть $\[ (m - n)^2 = pm = qn \] $
Очевидно, (p,q)=1 - иначе нашлось бы меньшее кратное.
Положим t=(m,n), x=m/t, y=n/t, очевидно, (x,y)=1.
Но $\[ (x - y)^2 t = px = qy \] $, и в силу этого t делится на x и на y, т.е. на xy: t=xyz.
Подставляя в предыдущее равенство, получаем
$\[ \begin{gathered} p = yz(x - y)^2 \hfill \\ q = xz(x - y)^2 \hfill \\ \end{gathered} \] $
Но так как (p,q)=1, то z=1 и x-y=1 (в предположении x>y).
Отсюда находим решение:
$\[ \begin{gathered} m = (y + 1)^2 y \hfill \\ n = (y + 1)y^2 \hfill \\ \end{gathered} \] $
Для любого натурального у. Легко видеть, что этот результат совпадает с результатом maxal'а: k=2y+1

[fadetoblack]

Цитата:

Первую задачу можно решить "более тупо"

может быть ... мне решение понятно) спасибо

[maxal]

fadetoblack писал(а):

2. существуют ли целые числа x, y, z, t такие, что x+y+z+t=xyz+xyt+xzt+yzt=1997 ?

Рассмотрите это уравнение по модулю 4.

Добавлено спустя 2 минуты 52 секунды:

fadetoblack писал(а):

8. можно ли все простые числа, меньшие 100, выписать в ряд так, чтобьы ни сумма, ни разность рядом стоящих чисел не делилась на 5?

Например, выписать их подряд и поменять местами каждое $\equiv 3\pmod{5}$ со следующим.

[neo66]

maxal писал(а):

fadetoblack писал(а):

2. существуют ли целые числа x, y, z, t такие, что x+y+z+t=xyz+xyt+xzt+yzt=1997 ?

Рассмотрите это уравнение по модулю 4.

Или по модулю 3.

[fadetoblack]

Цитата:

Например, выписать их подряд и поменять местами каждое $\equiv 3\pmod{5}$ со следующим.

а попробуте-ка выписать и поменять, вроде как не получается

Добавлено спустя 4 минуты 10 секунд:

Цитата:

Рассмотрите это уравнение по модулю 4.

это как?

Добавлено спустя 5 минут 9 секунд:

просто никогда если честно не решал сравнения ... подскажите как))) . наверна не очень сложно?

[maxal]

Ну-первых, надо заметить, что ровно одно из чисел $x,y,z,t$, если такие существуют, четно, для определенности будем считать, что это $t$. При этом исходное уравнение по модулю 4 сводится к
$x+y+z\equiv xyz\pmod{4}$, где $x,y,z\in\{1,3\}$.
Нетрудно проверить, что оно не имеет решений.