Есть у нас честная монетка (счётное множество независимых величин, равномерно распределённых на
). Известно, как с помощью неё получить случайные величины, равномерно распределённые на любом
— кидаем монету
раз и, если выпал код числа не из
, а из
, перекидываем по
раз до победы. Матожидание числа бросков для такого способа
.
Но может существовать разложение
на 2 и больше множителей
, и тогда, выкидывая по одному множителю, можно получить такую же хорошую случайную величину, при этом матожидание числа бросков может быть другим, т. к. это уже
. Для каждого числа можно получить множество матожиданий бросков при разных способах издевательства над монеткой, и это множество
— как раз вопрос этой темы. Что можно о нём сказать (и об элементах, и о мощности)?
Очевидные факты:
• Для простых и степеней двойки множество имеет один элемент.
• У степеней двойки
единственное матожидание строго меньше всех ожиданий для бо́льших чисел, и чисел из
, и равны они, конечно,
.
•
меньше числа разложений на множители, если присутствует квадрат или более высокая степень двойки — все разложения, отличающиеся только перегруппировкой двоек, имеют один образ. А есть ли другие случаи?
• Мазня:
супремумы и инфимумы множеств (синие и красные соотв.),
их разности,
все элементы множеств.
• Пример
для ленивых:
Можно сэкономить один бросок, выкидывая не 24 из 32, а 3 из 4 и потом ещё 8.
Хотя интересно не только множество, а и отображение из разбиений чисел на множители в матожидания. Когда разложение на простые — самое плохое или хорошее? когда одноэлементное (кроме простых и степеней двойки, упомянутых выше)? Как определить лучшее/лучшие или худшее/худшие разложения без перебора?
И так далее.
Можно обобщить определения и на случай трёхгранной (
) и т. д. монеты.
-- Ср авг 27, 2014 02:11:27 --Наверно, числовые теоретики тут уже покопались?