граница

[elena_t]

помогите самым быстрым самым рациональным способом решить такую границу:

$\lim_{x \to 0}{\left( \frac{1+\tg{x} cos{2x}}{1+\tg{x} \cos{5x}} \right)^{\frac{1}{x^3}}}$

[Алексей К.]

У меня такая граница получается...
ерунду написал, пардон,удалено...

[elena_t]

ну как бы $1^{\infty}$ это как я понимаю, не совсем "норамльный" ответ

Добавлено спустя 1 минуту 1 секунду:

можна, кажется, использовать правило ЛОпиталя, но слишком большие производные считать

[нг]

Лучше подумайте в направлении $\lim\limits_{x \to 0} (1+x)^{1/x} = {\rm e}$.

[elena_t]

нг писал(а):

Лучше подумайте в направлении $\lim\limits_{x \to 0} (1+x)^{1/x} = {\rm e}$.

это один из самых рациональных способов?

[нг]

Рациональных — да. Но стандартный — логарифмирование. Просто с ним возиться неохота.

[elena_t]

сним тоже неохота возиться, так потом такие производные считать, что ну его!

[Алексей К.]

Подумать, наверное, всегда рационально.
А указанный нг предел ("граница") рациональнее Лопиталя.
У Вас $\displaystyle\lim_{x\to 0}\left(1+\frac{21}{2}x^3-\frac{21}{2}x^4+\ldots\right)^{\frac{1}{x^3}}$. Само напрашивается..

[Brukvalub]

\[ f(x) \to 1\;,\;g(x) \to \infty \Rightarrow f(x)^{g(x)} \to e^p \;,\;p = \lim g(x)(f(x) - 1) \]

[elena_t]

Алексей К. писал(а):

$\displaystyle\lim_{x\to 0}\left(1+\frac{21}{2}x^3-\frac{21}{2}x^4+\ldots\right)^{\frac{1}{x^3}}$.

пожалуйста, можно детализировать, как это связвно с мой границей?

Добавлено спустя 1 минуту 48 секунд:

Brukvalub писал(а):

\[ f(x) \to 1\;,\;g(x) \to \infty \Rightarrow f(x)^{g(x)} \to e^p \;,\;p = \lim g(x)(f(x) - 1) \]

а по чем уне так $p = \lim [g(x) \ln{f(x)}]$

[Алексей К.]

Ну типа $\tan x=x+\frac{1}{3}x^3+\frac{2}{15}x^5+\ldots$. Аналогичные разложения существуют и для косинуса.
Вообще-то я зря, возможно, встрял: со школьными задачками часто дело имею, а со студенческими --- типовые приёмы подзабыл. Формула от Brukvaluba к таковым, видимо, и относится.

[Brukvalub]

elena_t писал(а):

а по чем уне так $p = \lim [g(x) \ln{f(x)}]$

Так лучше, но сложнее.

[elena_t]

а почему $\ln{f(x)=f(x)-1}$?

[Brukvalub]

elena_t писал(а):

а почему$\ln{f(x)=f(x)-1}$?

Я такого не писал, да это и неверно.

[Henrylee]

Указанной выше формулой Brukvalub имел в виду не это:

elena_t писал(а):

$\ln{f(x)=f(x)-1}$?

а вот это

$$ \frac{\ln f(x)}{f(x)-1}}\to 1,~f(x)\to 1 $$