Азы теории категорий

[_Ivana]

Прочитал в первых страницах одной книжки упражнение: определить категорию, в которой морфизмами являются числа, а композицией — сложение. До сей поры имел только туманные представления о наивной теории множеств, пришлось думать. Придумал вот что: раз морфизмы и композиция у нас заданы, осталось определить только объекты и проверить выполнение аксиом категории. Допустим, в качестве объектов я возьму множество чисел (и тут уже я приплыл, поскольку не знаю какое множество и каких чисел брать, скажем так: множество всех объектов, для которых определена операция "прибавить к объекту число"). Собственно, типизация (аппликация, стрелка, приложение или еще какое-то слово) морфизма $f$ c областью $A$ и кообластью $B$ будет определена как получение значения $B$ в результате прибавления к значению $A$ значения $f$. Тут сразу подозрение, что при таком определении нарушается уникальность типизации морфизма, ибо он неоднозначно задает свои src и tgt (источник и цель, не знаю как это по-русски). Но если закрыть глаза на нарушение первой аксиомы, то дальше вроде все хорошо - тип области и кообласти совпадает, значит любая композиция принадлежит множеству объектов. Единичный морфизм присутствует - 0 (по крайней мере, один ноль на все наши обобщенные "числа" мы может постулировать). Ассоциативность композиции морфизмов очевидно следует из ассоциативности операции сложения на числовых значениях объектов и морфизмов. Вроде все должно сходиться, но ясного понимания нет, плюс вышеобозначенные моменты смущают.
ЗЫ хотел вообразить моноид - категорию с единственным объектом (допустим, мой стул), и морфизмы-числа как стрелки из него в него же, все морфизмы единичные, композиция тоже вроде ассоциативна, т.к. любая композиция дает все тот же единичный морфизм. Но тут еще больше сомнений, что этот пример корректен.
Подскажите, я вообще в ту сторону думаю, или сильно рискую надорвать нетренированные мозги? И по задаче и моим примерам тоже, если можно.

[arseniiv]

_Ivana в сообщении #916220 писал(а):

ЗЫ хотел вообразить моноид - категорию с единственным объектом (допустим, мой стул), и морфизмы-числа как стрелки из него в него же, все морфизмы единичные, композиция тоже вроде ассоциативна, т.к. любая композиция дает все тот же единичный морфизм. Но тут еще больше сомнений, что этот пример корректен.

Откуда сомнения?

Вот возьмите упомянутый вами морфизм 0. Ему соответствует объект; назовём его $*$. Теперь поскладывайте ноль с другими числами разными способами. Можно сразу брать композиции вида $0\circ n\circ 0$. Вы восстановите, откуда и куда действует каждое число. Если предположить, что есть ещё один объект $*'$, у него будет ещё один единичный морфизм, который, по условию, должен тоже быть числом, но все числа уже тут, с нами, так что объект один, и получается моноид.

[_Ivana]

Тогда получается, моя первая категория с объектами "гипер-числами" некорректна, поскольку неоднозначно определяется область и кообласть каждого морфизма? А вторая мало того, что корректна, она еще является примером категории с любыми композируемыми морфизмами, действующими "из стула в стул", которые мы таким образом все сведем к единичным? То есть на вопрос - а определите категорию с такими-то морфизмами и таким-то правилом композиции я могу сразу отвечать - мой стул, как универсальный моноид?

[arseniiv]

Вообще объекты однозначно определяются по единичным морфизмам, так что нет. Если бы всякий морфизм можно было скомпозировать со всяким — то это как раз и есть моноид, а в противном случае это как раз уже и не моноид. (Логично как. )

-- Вт окт 07, 2014 23:01:02 --

_Ivana в сообщении #916229 писал(а):

она еще является примером категории с любыми композируемыми морфизмами, действующими "из стула в стул", которые мы таким образом все сведем к единичным

Никак не сведём. Единичный морфизм для каждого объекта единственен. Остальные, если есть, не единичные уже.

[_Ivana]

Другими словами (просто повторяю, чтобы самому понять :)) из факта композируемости любых двух морфизмов категории следует тождественность области и кообласти любого морфизма и значит имеем моноид (и наоборот, из моноида следует композируемость любых морфизмов), а из факта наличия некомпозируемости каких-либо двух морфизмов следует, что они не композируются исключительно по причине нетождественности одному объекту их пар областей и кообластей и значит не моноид (и наоборот, если не моноид, то по крайней мере единичные морфизмы разных объектов мы точно нескомпозируем)?

-- 07.10.2014, 20:13 --

arseniiv в сообщении #916234 писал(а):

Единичный морфизм для каждого объекта единственен

Непонимание нарастает. Как тогда можно определить категорию в задаче из стартового поста? Если морфизмы - числа, то вы меня только что убедили, что они по сложению любой с любым композируются - значит моноид?

[arseniiv]

Выше: да. Или морфизмы композируются и область одного совпадает с кообластью другого, или они не композируются в этом порядке и совпадения нет.

_Ivana в сообщении #916238 писал(а):

Непонимание нарастает. Как тогда можно определить категорию в задаче из стартового поста? Если морфизмы - числа, то вы меня только что убедили, что они по сложению любой с любым композируются - значит моноид?

Моноид-моноид, я ж и не отрицал.

[_Ivana]

Кажется я наступил в свое непонимание приставок к морфизмам: моно/эпи/ката/эндо/гомо/изо/поли /и т.д. и имя им легион.... Если моноид, и морфизмов много, то это не значит что все они единичные. Наверное они все эндо. А единичный один. Который что-то сохраняет :) Или он единичный не из-за объекта, а из-за прозрачности при композиции с любым другим эндоморфизмом справа/слева?

[arseniiv]

_Ivana в сообщении #916243 писал(а):

Если моноид, и морфизмов много, то это не значит что все они единичные. Наверное они все эндо.

Верно, эндо.

_Ivana в сообщении #916243 писал(а):

Или он единичный не из-за объекта, а из-за прозрачности при композиции с любым другим эндоморфизмом справа/слева?

Не обязательно эндоморфизмом — вообще любым морфизмом, с которым композиция возможна.

[_Ivana]

arseniiv, спасибо, у меня еще много вопросов, но мне неловко требовать ваше внимание, хотя я при общении понимаю лучше чем с бумаги. Попробую пока осознать что есть и почитать еще "мягкого введения в CT", но с интересом почитаю другие возможные мысли/дополнения по теме, если таковые будут.

[arseniiv]

_Ivana в сообщении #916258 писал(а):

но мне неловко требовать ваше внимание

Это зря. (И мне самому полезно, потому что у меня с ТК тоже не очень пока, всё как-то основы — а так примеры начинают придумываться, и есть из чего исходить. Ну и заодно больше стимула практиковаться в Xypic (ну вот, даже код теховский уже не помню).) Задавайте-задавайте.

[_Ivana]

Тогда позвольте продолжить добивать этот пример. Да, мне еще не все понятно. Например, если это моноид с эндоморфизмами, то что может быть объектом (или все угодно, хоть абстрактный стул) как осуществлять действие морфизмов на него? И как они будут менять объект (или это неважно и оставляет простор для фантазии)? Единичный морфизм определяется однозначно в нашем случае, но не через объект, а через заданную композицию как сложение - в таком случае у нас только один прозрачно композирующийся морфизм.

(Оффтоп)

А еще страсть как хочется узнать и понять что такое катаморфизм и монада :) Но боюсь, с такими моими знаниями пока эти вопросы надо отложить на потом :)

-- 07.10.2014, 21:45 --

И еще, в этом мягком введении написано про т.н. "предкатегорию", как более слабый объект (в смысле определенности), в нем нет аксиомы "уникальности типизации" - насколько я понял это по-русски "однозначное определение морфизмом своей области и кообласти", но сказано, что простым формальным преобразованием можно из любой предкатегории сделать полноценную категорию, переопределив морфизмы исходной как типизированные тройки (область, кообласть и морфизм) в новой. Это повсеместное определение или инициатива конкретного автора? Может вы подходите с позиций категории и однозначности области/кообласти, а автор задачи хотел категорию в смысле "предкатегории, из которой можно перейти"?

[arseniiv]

_Ivana в сообщении #916292 писал(а):

Например, если это моноид с эндоморфизмами, то что может быть объектом (или все угодно, хоть абстрактный стул) как осуществлять действие морфизмов на него?

Да, можно взять в качестве этого единственного объекта что угодно. Категория с такими же морфизмами, но другим объектом, будет изоморфна этой.

_Ivana в сообщении #916292 писал(а):

И как они будут менять объект (или это неважно и оставляет простор для фантазии)?

Мм, не знаю как правильно сказать. Как-то так: как может быть «изменён» объект, и определяется, какой морфизм из него взят. Т. е. если в результате композиции получилось $a_1\colon A\to B$, а в результате другой композиции — $a_2\colon A\to C, a_1\ne a_2$, то $A$ изменится в результате $a_1$ и $a_2$ «по-разному».

Но воспринимать морфизмы как действующие на свою область не обязательно. Возьмите, например, категорию, где объекты — натуральные числа, и есть по морфизму из $m$ в $n$ для $m < n$. Впрочем, такие морфизмы тоже можно воспринимать как прибавление натурального числа.

Лучше другой пример: любому (мульти)орграфу можно в соответствие поставить свободную категорию. Её объекты — вершины, а морфизмы — всевозможные пути между ними с композицией — конкатенацией путей (сначала идём по одному, потом по второму). Мы можем пойти по куче разных путей из $\operatorname{Hom}(A,B)$, и назвать какую-то вершину изменением другой тут, по-моему, странно.

_Ivana в сообщении #916292 писал(а):

Единичный морфизм определяется однозначно в нашем случае, но не через объект, а через заданную композицию как сложение - в таком случае у нас только один прозрачно композирующийся морфизм.

Вообще-то единичный морфизм определяется однозначно в любом случае. Это часть аксиом теории категорий, что

$$\forall A\in\mathcal Ob_C\mathrel.\exists\mathrm{id}_A\colon A\to A\mathrel.\forall B\in\mathcal Ob_C\,\left(\forall f\colon A\to B \mathrel. f\circ\mathrm{id}_A = f \wedge \forall g\colon B\to A \mathrel. \mathrm{id}_A\circ g = g\right),$$

и если этого нет, то и категории тоже нет.

(Отделил кванторы точками для разборчивости.)

-- Ср окт 08, 2014 01:33:10 --

_Ivana в сообщении #916292 писал(а):

Может вы подходите с позиций категории и однозначности области/кообласти, а автор задачи хотел категорию в смысле "предкатегории, из которой можно перейти"?

Не написал бы ли он тогда явно «найдите предкатегорию»? Не знаю. Дайте тоже эту книжку посмотреть, лишним не будет — как называется?

[_Ivana]

arseniiv в сообщении #916330 писал(а):

Дайте тоже эту книжку посмотреть

сама книжка и еще немало переводов от Романа Душкина

Пока пытаюсь уложить в голове максимально абстрактную концепцию категории. Граф и частично упорядоченное множество - это азбучные примеры многих книг, там все понятно (кроме, разве что, как в вашем строго упорядоченном множестве вводятся эндоморфизмы), интуитивно понятны объекты, а морфизмы уже следствие. Но со стартовой задачей топика я и зашел в тупик, потому что подобрать объект к морфизмам (причем, морфизмам не "глаголам", а "существительным") для меня оказалось нетривиально.

[arseniiv]

Что-то такое определённо можно подобрать. Например, группа изоморфизмов $(\mathbb Z,<)$. Каждый соответствует прибавлению константы.

[_Ivana]

Если бы морфизм из $m$ в $n$ определялся через $m <= n$, тогда единичный морфизм соответствовал бы равенству. Вы исключили из коллекции морфизмов равенство, значит нет эндоморфизмов, в т.ч. и единичных. Хотя их можно добавить совершенно другим способом - необязательно все морфизмы должны определяться по сходному правилу же.