Причинность в математике

[Neos]

Причинность - нематематическое понятие. Его можно считать определенным отношением между причиной и следствием. Но в математике в явном виде "время" отсутствует. Хотя неявно временем и движением пользутся вовсю.
Близкие или подобные понятия: алгоритм и логический вывод. Наверное можно искусственно притянуть к ним понятие причинности. Поэтому и спор "ни о чем".

[Munin]

Neos в сообщении #893083 писал(а):

Но в математике в явном виде "время" отсутствует.

Зависит от теории. Можно ввести $\mathbb{R}^4,$ и назвать явно одну из координат $t$ "время". В некоторых модальных логиках есть время (темпоральные логики, кажется). И т. п.

[Lukum]

В моем понимании существование это взаимодействие.

[Dan B-Yallay]

Существует ли число, квадрат которого равен двум?
Если да, то покажите как вы с ним взаимодействуете.

[Lukum]

Сначала надо установить факт существования числа, например, числа $1$, не так ли?
Я не про математику в том определении.

[мат-ламер]

Lukum в сообщении #893111 писал(а):

Сначала надо установить факт существования числа, например, числа $1$, не так ли?

Можно сначала принять за аксиому факт существования пустого множества? Не вникая в детали смысла слова "существовать". А там глядишь, и другие объекты тоже начнуть "существовать". Главное не вникать в смысл этого слова.

[Neos]

Lukum в сообщении #893103 писал(а):

В моем понимании существование это взаимодействие.

Взаимодействие предполагает как минимум два объекта. А существовать может и один. Поэтому эти понятия неэквивалентны.

[Aritaborian]

(Оффтоп)

Не надо, я не хочу видеть, как Lukum взаимодействует с корнем из двух. Это будет пострашнее фильма «Муха».

[zt09]

Проблема перехода от "идеализированных" моделей и описывающих их формальных систем к реальности возникает из-за того, что математика работает с детерминированными сущностями. Множествами, группами, полями и т.п. По сути в общем случае мы имеем несколько определений базовых элементов (нулевой элемент и пр. в зависимости от фантазии), операций над ними и отношений. Еще проще - определения объектов и правил работы с ними.

В основе таких "идеальных" систем лежит определенность.

Это означает, что если мы имеем некий детерминированный объект как часть логически непротиворечивой системы, то в результате любой допустимой операции система остается детерминированной. Т.е. некое утверждение относительно этой системы будет либо истинно, либо ложно. Утверждение это либо можно будет проверить, либо нельзя, но мы всегда будем это точно знать. Но не может вдруг образоваться неопределенность - т.е. некоторое частичное незнание в результате работы с системой. Не может корень квадратного уравнения принимать то одно значение, то другое каждый раз, когда мы ищем ответ. - Да, это кажется очевидным, но все правила и определения предназначены именно для реального "оператора" - сознания или вычислительной машины, находящегося в реальном мире, который может интерпретировать и реализовать правила с помощью ресурсов окружающего мира. Сама по себе математика не имела бы смысла. в детерминированной системе операция и реализация операции всегда совпадают. Поэтому в ней неоткуда взяться "возникновению" чего-либо., а значит и существованию. Да, математические объекты существуют, но только для нас (т.е. не в идеальной системе, а реальной). Мы сами породили их в результате размышлений.

В основе реальности же лежит неопределенность.

Это означает принципиальное отличие логики, лежащее в основе реальности. В реальности все наоборот. В ней не могут появиться детерминированные объекты. А реализация операций грубо говоря не совпадает с их определением (Хотя что в этом случае можно считать определением?). Результат эволюции систем, приготовленных в одном состоянии, может отличаться. (Видимо, в реальности чистых состояний и не бывает совсем.) Здесь уже можно поговорить о возникновении, существовании, уничтожении, причинности и взаимодействиях, если немного подумать.

[Munin]

zt09 в сообщении #916001 писал(а):

Это означает, что если мы имеем некий детерминированный объект как часть логически непротиворечивой системы, то в результате любой допустимой операции система остается детерминированной. Т.е. некое утверждение относительно этой системы будет либо истинно, либо ложно.

Проблема в том, что сами понятия "истинно" и "ложно" относятся к епархии математики, и в разных математических системах могут существовать по разным правилам. Например, может быть такая логически непротиворечивая система, где утверждения могут быть истинны, ложны, $a_1,$ $a_2,$ $a_3,$ и так далее.

[zt09]

Munin в сообщении #916163 писал(а):

Проблема в том, что сами понятия "истинно" и "ложно" относятся к епархии математики, и в разных математических системах могут существовать по разным правилам. Например, может быть такая логически непротиворечивая система, где утверждения могут быть истинны, ложны, $a_1,$ $a_2,$ $a_3,$ и так далее.

Вопрос в том, может ли быть утверждение истинно, ложно, $a_1,$ $a_2,$ $a_3,$ с некоторой долей вероятности. Вероятность появляется тогда, когда результат операции невозможно точно знать до ее реализации. Если система детерминирована, то в ней не получится реализовать условно говоря генератор случайных значений. Поскольку в такой системе результат операции всегда известен, т.к. может быть вычислен (или мы знаем, что не может быть вычислен, но опять-таки, мы это можем узнать) до начала реализации операции.

Собственно поэтому в математике (хорошо, не во всей) нет различия между операцией и реализацией операции. А в реальности есть. Чтобы провести вычисление, необходимо подумать или построить вычислительную машину. И вот тут уже недетерминированность реального мира возьмет свое, и Вселенная начнет выкидывать фокусы - то мы "ошибемся" в вычислениях, то вычислительная машина сломается, то упадет метеорит и всех уничтожит до получения результата и т.п. Иначе говоря, вероятность реализовать операцию не будет равна 100%.

[Munin]

zt09 в сообщении #916265 писал(а):

Вопрос в том, может ли быть утверждение истинно, ложно, $a_1,$ $a_2,$ $a_3,$ с некоторой долей вероятности.

Такие математические теории тоже есть.

zt09 в сообщении #916265 писал(а):

Собственно поэтому в математике (хорошо, не во всей) нет различия между операцией и реализацией операции. А в реальности есть.

Ну вот из этого "не во всей" и следует, что в некоторых математических теориях может быть всё так, как в реальности.