предел функции, используя линеаризацию

[Дуняша]

Нужно решить предел, используя линеаризацию:

$$\lim_{x \to \infty}{\sqrt{x^3+x^2+x}* \sin\left(\frac {\sqrt{4x+3}} {5x^2+2x+1}\right)}$$

Для начала я вот что получила:
т.к. $\sin\alpha \sim\alpha$, то

$$\lim_{x \to \infty}\sqrt{x^3+x^2+x}\cdot \sin\left(\frac {\sqrt{4x+3}} {5x^2+2x+1}\right) = \lim_{x \to \infty}{\sqrt{x^3+x^2+x}\cdot \frac {\sqrt{4x+3}} {5x^2+2x+1}} = \lim_{x \to \infty}\frac {\sqrt{4x^4+4x^3+4x^2+3x^3+3x^2+3x}} {5x^2+2x+1} = $$

$$=\lim_{x \to \infty}\frac {\sqrt{4x^4+7x^3+7x^2+3x}} {5x^2+2x+1} = \lim_{x \to \infty}\frac {\sqrt{4+7/x+7/x^2+3/x^3}} {5+2/x+1/x^2} = \frac {2} {5}$$

Правильно? Правильно ли я применила линеаризацию?

[PAV]

Правильно, только нужно не забывать, что $\sin\alpha\sim\alpha$ при $\alpha\to 0$. В данном случае это действительно так, но на это нужно сослаться в решении.

[Дуняша]

Т.е. можно было с самого начала ввести замену:
a=1/x,
тогда a \to 0
и \lim_{a \to 0}{\sqrt{1/a^3+1/a^2+1/a}* sin(\frac {\sqrt{1/4a+3}} {1/5a^2+1/2a+1})} = ...
Ну а дальше понятно.
Так?
Спасибо за помощь!

[PAV]

Нет. $\alpha = \frac {\sqrt{4x+3}} {5x^2+2x+1}$. Чтобы использовать эквивалентность, нужно заметить, что при указанном условии $x\to\infty$ имеет место $\alpha\to0$.