Задачи по теории меры (Сакс, "Теория интеграла")

[_Goran_]

Здравствуйте!
В учебнике Станислава Сакса "Теория интеграла" есть шесть задач, которые он даёт сразу после определения абсолютно непрерывной функции множества и сингулярной функции множества, называя их очевидными. К своему стыду ни одну из них решить не могу Собственно поэтому прошу помощи... Итак, задачи:

1. Для того, чтобы аддитивная функция множества на множестве E была
а) абсолютно непрерывна
б) сингулярна
необходимо и достаточно, чтобы её верхняя и нижняя вариации обе были
а) абсолютно непрерывными
б) сингулярными

2. Линейная комбинация двух аддитивных
а) абсолютно непрерывных
б) сингулярных
функций на множестве E
а) абсолютно непрерывна на E
б) сингулярна на E

3. Если последовательность $\Phi_n(x)$ аддитивных функций
а) абсолютно непрерывных
б) сингулярных
на множестве E сходится к аддитивной функции $\Phi(x)$ на каждом измеримом подмножестве $X$, то функция $\Phi(x)$ также
а) абсолютно непрерывна
б) сингулярна

4. Если аддитивная функция множества
а) абсолютно непрерывна
б) сингулярна
на множестве E, то она будет
а) абсолютно непрерывной
б) сингулярной
и на каждом измеримом подмножестве E.

5. Если $E = \cup\limits_n E_n$, где $E_n$ - последовательность измеримых множеств и аддитивная на E функция $\Phi(x)$
а) абсолютно непрерывна
б) сингулярна
на каждом множестве $E_n$, то функция $\Phi(x)$
а) абсолютно непрерывна
б) сингулярна
и на всём множестве E.

6. Аддитивная функция множества не может быть одновременно абсолютно непрерывной и сингулярной на множестве, не обращаясь тождественно в ноль.

Так как достать смог только книгу на английском, то не уверен даже в правильности перевода определений:

Определение 1) Аддитивная функция множества на множестве E называется абсолютно непрерывной на E, если функция равна нулю для любого измеримого подмножества E, мера которого равна нулю.
Оригинал на английском: An additive function of a set on a set E, will be said to be absolutely continuous on E, if the function vanishes for every subset of E whose measure is zero.

Определение 2) Аддитивная функция множества Ф(X) на множестве E называется сингулярной на E, если существует измеримое подмножество E_0 \subset E меры ноль, такое, что Ф(X) = 0 на $E \setminus E_0$, т.е. \Phi(X) = \Phi(E_0 \cdot X) для любого измеримого подмножества X из E.
Оригинал на английском: An additive function Ф(X) of a set on a set E will be termed singular on E, if there exists a subset E_0 \subset E measurable of measure zero, such that Ф(X) vanishes identically on $E \setminus E_0$, i.e. \Phi(X) = \Phi(E_0 \cdot X) for every subset X of E measurable.

Насчет первой задачи есть только такая мысль - разложение Жордана функции на сумму нижних и верхних вариаций. Соответственно, сумма абсолютно непрерывных вроде как должна быть непрерывной?
Буду ОЧЕНЬ благодарен за любые подсказки

[Echo-Off]

6. Если $\Phi(X)$ сингулярна, то имеется множество $E_0$ меры 0, что вне этого множества она равна 0. А если она к тому же и абсолютно непрерывна, то на самом множестве $E_0$...

5а. Если $A\subset \cup E_n$ и $\mu E=0$, то $\mu(A\cap E_n)=0$, стало быть $\Phi(A\cap E_n)=0$, $|\Phi(A)| \leqslant \sum |\Phi(A\cap E_n)|$...
5б - воспользоваться тем, что счётное объединение множеств меры 0 ...

4а. Если $E_0 \subset E$, $A \subset E_0$ и $\mu A = 0$, то $A \subset E$ и $\mu A = 0$, значит, $\Phi(A) = \dots$
4б. Хм. Ну тут уж прям и не знаю, что написать. Как-то всё очевидно

Цитата:

он даёт сразу после определения абсолютно непрерывной функции множества и сингулярной функции множества, называя их очевидными

Ничего не поделаешь, они такие и есть

[_Goran_]

Echo-Off, спасибо за быстрый ответ.

Получается, решение 6-й задачи должно выглядеть так:

Если Ф(X) сингулярна, то $\exists E_0 \subset E$, $\mu(E_0) = 0$, т. что $\Phi(X \setminus E_0) = 0$. Если Ф(X) абсолютно непрерывна, то, т.к. $\mu(E_0) = 0$, то и $\Phi(E_0) = 0$.
\Phi(X \setminus E_0) = 0, \Phi(E_0) = 0, откуда $\Phi(X) = 0$.

[AD]

Определения вы перевели правильно.

Ну вот задача 2 совсем простая - ну если из $\mu A=0$ следует, что $\phi A=0$ и $\psi A=0$, то разве из этого не будет следовать, что $(\phi+\psi)(A)=\phi A+\psi A=0$ ??, аналогично пункт б. Как вы уже заметили, задача 1 из нее почти сразу следует. Ну и остальное в том же духе.

_Goran_ писал(а):

В учебнике Станислава Сакса "Теория интеграла" есть шесть задач ...

Во молодежь пошла ... ))) Для меня эта книжка ближе к святому писанию какому-то. Тираж последнего издания на русском - 500 экз. Между прочим, это первая книга, в которой доказывалась теорема Радона-Никодима (до этого она была только в статьях) (щас, а это вроде в предисловии и написано).

[_Goran_]

Echo-Off писал(а):

5а. Если $A\subset \cup E_n$ и $\mu E=0$, то $\mu(A\cap E_n)=0$, стало быть $\Phi(A\cap E_n)=0$, $|\Phi(A)| \leqslant \sum |\Phi(A\cap E_n)|$...

Откуда здесь берется равенство \mu(E) = 0? Может быть должно быть \mu(A) = 0? и дальше тоже не понятно: почему \mu(A\cap E_n)=0 - это условие того, что функция абсолютно непрерывна на каждом множестве E_n?

5б. Если функция \Phi(X) сингулярна на каждом E_n, то \exists E_{0n} \subset E_n, \mu(E_{0n}) = 0, так что \Phi(X \setminus E_{0n}) = 0. Далее, $E_0 = \cup\limits_n E_{0n}, \mu(E_0) = 0$ и \Phi(X \setminus E_0) = 0, но не понятно, как это заканчивать

4а. Почему здесь \mu(A) = 0?

AD, то есть во второй задаче дано: $\mu(X) = 0, \Phi(X) = 0, \Psi(X) = 0$ и спрашивается, следует ли из этого, что $\alpha\Phi(X) + \beta\Psi(X)$ абсолютно непрерывна? То есть надо показать сначала что мера этой линейной комбинации равна нулю и при этом сама линейная комбинация равна нулю?
Надо ли доказывать в первой задаче, что сумма абсолютно непрерывных функций будет также непрерывной и наоборот - функция абсолютно непрерывная представима в виде суммы абсолютно непрерывных функций?

[AD]

Цитата:

AD, то есть во второй задаче дано: $\mu(X) = 0, \Phi(X) = 0, \Psi(X) = 0$ и спрашивается, следует ли из этого, что $\alpha\Phi(X) + \beta\Psi(X)$ абсолютно непрерывна?

Во второй задаче дано, что $\Phi$ и $\Psi$ абсолютно непрерывны. Это значит, что $\Phi(X)=0$ и $\Psi(X)=0$ для любого множества $X$ такого, что $\mu(X)=0$. Требуется получить, что $\alpha\Phi(X)+\beta\Psi(X)=0$ для любого такого $X$. Действительно, $\alpha\cdot0+\beta\cdot0=0$, что и требовалось доказать.

_Goran_ писал(а):

надо показать сначала что мера этой линейной комбинации равна нулю и при этом сама линейная комбинация равна нулю?

Брррр. Пишите по-человечески! Что еще за мера линейной комбинации?

_Goran_ писал(а):

Надо ли доказывать в первой задаче, что сумма абсолютно непрерывных функций будет также непрерывной и наоборот - функция абсолютно непрерывная представима в виде суммы абсолютно непрерывных функций?

"Наоборот" - слишком просто. Всякая абсолютно непрерывная функция $\Phi$ представима в виде $\Phi+0$ и в виде $\Phi/2 + \Phi/2$, в обоих случаях оба слагаемых абсолютно непрерывны.

[_Goran_]

AD, посмотрите пожалуйста верно ли теперь:

(2a) Для того, чтобы линейная комбинация $\alpha\Phi(X) + \beta\Psi(X)$ была абсолютно непрерывна, должно выполняться: $\exists E_0 \subset E, \mu(E_0) = 0 \Rightarrow \alpha\Phi(X) + \beta\Psi(X) = 0$.
Так как $\Phi(X), \Psi(X)$ абсолютно непрерывны, то $\exists E_0 \subset E, \mu(E_0) = 0 \Rightarrow \Phi(X) = 0, \Psi(X) = 0$. Откуда получаем: $\alpha\Phi(X) + \beta\Psi(X) = \alpha \cdot 0 + \beta \cdot 0 = 0$, что и требовалось показать.

(2б) Для того, чтобы линейная комбинация $\alpha\Phi(X) + \beta\Psi(X)$ была сингулярна, должно выполняться: $\exists E_0 \subset E, \mu(E_0) = 0 \Rightarrow \alpha\Phi(X) + \beta\Psi(X) = 0$ на $E \setminus E_0$.
Так как $\Phi(X), \Psi(X)$ сингулярны, то $\exists E_0 \subset E, \mu(E_0) = 0 \Rightarrow \Phi(X) = 0, \Psi(X) = 0$ на $E \setminus E_0$. Откуда и $\alpha\Phi(X) + \beta\Psi(X) = \alpha \cdot 0 + \beta \cdot 0 = 0$, что и требовалось показать.

P.S. спасибо за терпение