Нормальное распределение: интуиция, формулы

[jrMTH]

Формула нормального распеределения
$P(x) = \frac{1}{{\sigma \sqrt {2\pi } }}e^{ - \frac{ \left( {x - \mu } \right)^2 }{2\sigma^2}}$

Помогите объяснить человеку с фактически начальным уровнем (без сложностей) интуицию для понимания этой формулы, а точнее вот этот коэффициент:
$\frac{1}{{\sigma \sqrt {2\pi } }}$

Как, скажем, $\frac{1}{{\sqrt {2\pi } }}$ влияет на функцию? Самый главный вопрос для меня: почему мы делим на $\sqrt {2\pi }$ - что это дает? Спасибо.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
Тема перемещена в Карантин по следующим причинам:

Оформите все формулы.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[popolznev]

Интеграл от этой функции по всей вещественной оси должен быть равен 1. Это следует из смысла функции. Вот для того и делят на $\sqrt{2\pi}$.

[jrMTH]

popolznev в сообщении #915364 писал(а):

Интеграл от этой функции по всей вещественной оси должен быть равен 1. Это следует из смысла функции. Вот для того и делят на $\sqrt{2\pi}$.

Спасибо, но вот у меня эта штука как-то в голове не укладывается: мне хочется понять как эти коэффициенты влияют на график, почему они держат его в пределах единицы. Ведь до интеграла мы используем эту функцию плотности вероятности, поэтому этот коэфициент как-то влияет на построение графика, как я понял, держит его в пределеах единицы, но вот как на это влияет деление на $\sqrt{2\pi}$ мне сложно понять.

[gris]

Кажется, Козьма Прутков говорил: "И нормальная плотность нормированию подлежит".
Одна из стандартных задач по ТВ: плотность СВ задана функцией с параметром $f(x,a)$.
1. Чему равно $a$. 2. Найти матожидание и дисперсию.
Кстати, удобно потренироваться на равномерном распределении на отрезке.

+++ А ведь авторитеты часто бывают совершенно правы (читая ОЗ).

[jrMTH]

gris в сообщении #915612 писал(а):

Кажется, Козьма Прутков говорил: "И нормальная плотность нормированию подлежит".
Одна из стандартных задач по ТВ: плотность СВ задана функцией с параметром $f(x,a)$.
1. Чему равно $a$. 2. Найти матожидание и дисперсию.
Кстати, удобно потренироваться на равномерном распределении на отрезке.

извеняюсь, мне сложно понять сокращения, т.к. учу мат. часть в английском мире. если коротко, что мне нужно почитать про деление на pi и интуицию - это относится к тригонометрии?

[Александрович]

Прочитайте про интеграл ошибок.

[ИСН]

Не нужно ничего читать про деление на пи. Нет таких книг про деление на пи. Релевантные идеи обычно излагаются гораздо раньше и на гораздо более простых примерах: если число в два раза больше, чем нам нужно, то его можно разделить на два - и получится ровно столько, сколько нужно. Вот и вся интуиция.

[jrMTH]

ИСН в сообщении #915674 писал(а):

Не нужно ничего читать про деление на пи. Нет таких книг про деление на пи. Релевантные идеи обычно излагаются гораздо раньше и на гораздо более простых примерах: если число в два раза больше, чем нам нужно, то его можно разделить на два - и получится ровно столько, сколько нужно. Вот и вся интуиция.

хорошо, но мы же делим единицу на $\sqrt2\pi$. т.е. единица в данном случае больше на $\sqrt2\pi$ и поэтому мы ее делим на этот коэффициент? очень запутался в том почему тут $\pi$ используется и что оно добавляет к формуле, на что влияет. можно, пожалуйста, попросить ну очень просто описать человеку, который мат. глубоких абстракциях может потерятся, т.е. обычным нетехническим языком. спасибо.

[Pphantom]

Кхм... давайте-ка начнем с начала. Что такое плотность вероятности, Вы знаете?

[jrMTH]

Pphantom в сообщении #915748 писал(а):

Кхм... давайте-ка начнем с начала. Что такое плотность вероятности, Вы знаете?

да, это функция, которая назначает вероятность появления события из конечного множества вероятностей, сумма которых равна единице. вообщем у нас есть нормальное распределение, сумма площади (интегрирование) равно единице.

[ИСН]

Для нетехнического человека эта формула - готовая, цельная смысловая единица. Её в таком виде дал бог или сержант. Спрашивать про отдельные детали смысла нет. Почему пи? Почему корень? А почему е? Почему сверху квадрат? Объяснить каждую деталь - ничуть не проще, чем объяснить вывод всей формулы целиком.

[upgrade]

наверное вначале было $\frac{1}{\sigma^2 2\pi}$, а затем извлекли корень.

[ewert]

jrMTH в сообщении #915759 писал(а):

это функция, которая назначает вероятность появления события из конечного множества вероятностей

Нет, в случае плотности вероятности "множество вероятностей" отнюдь не конечно, в точности наоборот.

jrMTH в сообщении #915759 писал(а):

сумма площади (интегрирование) равно единице

А вот это противоречит предыдущему, и правильно делает: по существу это верно.

jrMTH в сообщении #915740 писал(а):

поэтому мы ее делим на этот коэффициент?

А почему мы, скажем, для нахождения диаметра окружности делим её длину на $\pi$? И что это за зверь такой -- $\pi$? И зачем вообще нужно что-то на что-то делить?...

jrMTH в сообщении #915609 писал(а):

мне хочется понять как эти коэффициенты влияют на график, почему они держат его в пределах единицы.

Вам не то хочется, что нужно. Вам должно хотеться другое: как влияют на график параметры $a$ и $b$ функции $y=af(bx)$. Если Вы это поймёте, то, не исключено, поймёте и то, как они влияют на площадь.