Числа

[SpBTimes]

Найдутся ли такие различные натуральные числа $n_1, \ldots, n_8$, что

$$ \frac{1}{\sqrt{\sqrt{n_1} + \sqrt{n_1 - 1}}} + \ldots + \frac{1}{\sqrt{\sqrt{n_8} + \sqrt{n_8 - 1}}} = 2? $$

[hippie]

SpBTimes в сообщении #915518 писал(а):

$$ \frac{1}{\sqrt{\sqrt{n_1} + \sqrt{n_1 - 1}}} + \ldots + \frac{1}{\sqrt{n_8} + \sqrt{n_8 - 1}} $$

Первое и последнее слагаемое имеют разный вид.
Предположу, что общий корень в знаменателе первого слагаемого лишний. Тогда нужные числа существуют. Например: $n_1 = 10;\ n_2 = 11;\ n_3 = 12;\ n_4 = 13;\ \dots\ ; n_{16} = 25.$

[Edward_Tur]

Для двойного корня подходят квадраты: 9,25,49,81,121,169,225,289

[SpBTimes]

hippie
Виноват, корень двойной, исправил.

Тут я тоже подобрал, но следующий вопрос такой: а можно ли как-то обобщить задачу?

[nnosipov]

SpBTimes в сообщении #915631 писал(а):

а можно ли как-то обобщить задачу?

Не знаю насчёт обобщить, но можно поставить задачу так:

Найти все наборы натуральных чисел $n_1<n_2<\ldots<n_8$, для которых имеет место указанное равенство.

Предполагается, что мы не будем злоупотреблять компьютерным перебором и предварительно докажем, например, что каждое $n_i$ должно быть точным квадратом.