Магнитное поле. Задача.

[tech]

Здравствуйте.
Есть следующая задача:
Тонкостенная длинная дюралевая трубка заряжается электрически и приводится в быстрое вращение. Какова будет конфигурация создавшегося магнитного поля? Предел скорости вращения трубки обусловлен механической прочностью дюраля $\sigma=6\cdot10^8 \frac{N}{m^2}$. Какое наибольшее отношение магнитного поля внутри трубки к электрическому полю на внешней поверхности трубки можно получить? Известна также плотность дюраля $\rho$.

1. С конфигурациями полей вроде всё понятно. Магнитное поле – поле соленоида. Эл. поле вблизи поверхности (снаружи) $4\pi\sigma_q$, где $\sigma_q$ - поверхностная плотность заряда.

2. Немного непонятно с предельной скоростью. Имеется в виду, что этот цилиндр распирают силы магнитного и электрического происхождения?

Если так, то сразу вопрос, как искать эти силы (пока считаю стенки трубки бесконечно тонкими). $h,\ R$ - высота и радиус трубки.

Магнитное поле внутри трубки:

$$B=\frac{4\pi}{c}v\sigma_q$$

Сила, действующая со стороны поля на элемент тока цилиндра:

$$dF=\frac{v\sigma_q dz}{c}B dl$$

Суммарная сила:

$$F={\left(\frac{v\sigma_q}{c}\right)}^2 4\pi \cdot 2\pi R\cdot h$$

Соответственно, сила на единицу площади:

$$f={\left(\frac{v\sigma_q}{c}\right)}^2 4\pi $$

Чтобы найти силу электрическую, ищу сначала энергию.
$E(r)=4\pi\sigma_q R/r,\ r\ge R, \ R$ - это радиус трубки.

$$W=\int \frac{E^2dV}{8\pi}=\int\limits_0^h dz \int\limits_R^\infty \frac{E^2}{8\pi} 2\pi rdr$$

(А вообще, можно ли считать, что всё поле сконцентрировано только от $0$ до $h$ по вертикальной оси?)

Хотя в любом случае не знаю, что здесь делать, потому что интеграл от $R$ до $\infty$ расходится.

3. Совсем непонятно, где должна всплыть плотность $\rho$, даже если при решении задачи считать, что стенка имеет конечную толщину $\delta$.

[chislo_avogadro]

tech в сообщении #914896 писал(а):

непонятно, где должна всплыть плотность $\rho$

Видимо, просят учесть механику.

-- 04.10.2014, 13:50 --

tech в сообщении #914896 писал(а):

интеграл от $R$ до $\infty$ расходится.

Навскидку - может быть взять готовую формулу для поля бесконечно длинного проводника, а силу найти дифференцированием энергии по $r$?

[chislo_avogadro]

А что, разве найденного $E$ недостаточно для определения силы?