Доказать эквивалентность норм

[demolishka]

Заданы две нормы на $C^{1}([0;1])$:
$\|x(t)\|_{1}=|x(0)|+\int_{0}^{1}|x'(t)|dt$
$\|x(t)\|_{2}=\max|x(t)|+\int_{0}^{1}|x'(t)|dt$
Нужно доказать их эквивалентность.

Неравенство $\|x(t)\|_{1} \leq \|x(t)\|_{2}$ очевидно. Чтобы доказать в другую сторону, рассмотрим последовательность, сходящуюся по первой норме: $x_n(t) \to x(t)$ и покажем, что она сходится и по второй.
$\|x_n(t)-x(t)\|_{1}=|x_n(0)-x(0)|+\int_{0}^{1}|x_n'(t)-x'(t)|dt \to 0$
Теперь через
$|x_n(0)-x(0)| < \varepsilon$
$\int_{0}^{1}|x_n'(t)-x'(t)|dt < \varepsilon$
Нужно оценить $\max|x_n(t)-x(t)|$. Тут начинаются проблемы.
Если использовать неравенство $\max|x_n(t)-x(t)| \leq |x_n(0)-x(0)| + \max|x_n'(t)-x'(t)|$, то далее непонятно чем можно оценить $\max|x_n'(t)-x'(t)|$. Как-то приблизиться к этому можно с помощью теоремы о среднем: $\int_{0}^{1}|x_n'(t)-x'(t)|dt =|x_n'(\theta_n)-x'(\theta_n)| < \varepsilon$. Далее идеи заканчиваются.

[ex-math]

$$\max|x(t)|\leqslant|x(0)|+\int_0^1|x'(t)|dt,$$

поэтому $\|x(t)\|_2\leqslant2\|x(t)\|_1$.