[теория категорий] Морфизм между экспоненциалами

[Mysterious Light]

Рассмотрим некую категорию $\mathcal{C}$ с произведениями и дадим определение:
Экспоненциалом объектов $A$ и $B$ называется объект $A^B$ и морфизм $\operatorname{ev}: B\times A^B\to A$, причём всякому морфизму $f: B\times C\to A$ сопоставляется единственным образом морфизм $\hat{f}: C\to A^B$, делающий коммутирующей диаграмму

$$\xymatrix{ B\times A^B \ar[rr]^{\operatorname{ev}} && A \\ B\times C \ar[u]^{\operatorname{id}_B}_{\hat{f}} \ar[rru]_f && }$$

то есть $\forall C\forall f\colon B\times C\to A\;\exists! \hat{f}\colon C\to A^B \quad f = \operatorname{ev} \circ \left[ \operatorname{id}_B, \hat{f} \right]$

Пусть имеется $g\colon D\to B$. Меня интересует, при каких условиях существует $\bar{g}\colon A^D \to A^B$, удовлетворяющий

$$\xymatrix{ D\times A^D \ar[rrrd]^{\operatorname{ev}} \ar@{-->}[dr]_{\left[g,\bar{g}\right]} &&& \\ & B\times A^B \ar[rr]^{\operatorname{ev}} && A \\ & B\times C \ar[u]^{\operatorname{id}_B}_{\hat{f}} \ar[rru]_f && \\ D\times C \ar[ru]_{\operatorname{id}_C}\ar[ru]^g \ar[uuu]^{\operatorname{id}_D} \ar[uuu]_{\widehat{f\circ\left[g,\operatorname{id}\right]}} & }$$

то есть

$$\bar{g}\circ\left(\widehat{f\circ\left[g,\operatorname{id}_C\right]}\right) = \hat{f}\circ\operatorname{id}_C.$$

В категории множеств $\bar{g} = \hat{f} \mapsto \widehat{f\circ g}$

Подскажите, в какую сторону копать.

[zeitraffer]

Цитата:

Пусть имеется $g\colon D\to B$. Меня интересует, при каких условиях существует $\bar{g}\colon A^D \to A^B$, удовлетворяющий

$$\bar{g}\circ\left(\widehat{f\circ\left[g,\operatorname{id}_C\right]}\right) = \hat{f}\circ\operatorname{id}_C.$$

уточняющие вопросьі:
1. только єто равенство (коммутативньій квадрат)? на диаграмме есть вверху треугольник, он тоже должен коммутировать?
2. равенство должно вьіполняться для фиксированного f или для всех f?

Цитата:

В категории множеств $\bar{g} = \hat{f} \mapsto \widehat{f\circ g}$

Есть проблема, в том, что Вьі записали. Чтобьі можно бьіло перемножить $f\circ g$, либо $g\colon D\to B$ должно идти в другую сторону, либо $\bar{g}\colon A^D \to A^B$ в другую. Функтор єкспоненциирования контравариантен по аргументу-степени. Вьі же записали якобьі ковариантньій функтор.

Цитата:

Подскажите, в какую сторону копать.

Сначала разобраться, нужен ковариантньій функтор или контравариантньій.
Читать:
http://nlab.mathforge.org/nlab/show/exponential+object
http://nlab.mathforge.org/nlab/show/car ... d+category

[Mysterious Light]

Верно, я всё напутал. Прошу прощения.

Я знаю, что $\mathfrak{Hom}\colon \mathcal{C}^{op}\times\mathcal{C}\to\mathrm{Set}$ контравариатен по первому аргументу и ковариантен по второму. Хочу понять, можно ли и в каких случаях можно перенести эти свойства на экспоненциалы, т.е. $A^B$ ковариантен по $A$ и контравариантен по $B$.

Диаграмму я нарисовал неправильно. Если рассматривать присоединение функции $g\colon D\to B$ cправа к $f$, то $\bar{g}$ должна быть направлена в другую сторону: $A^B\to A^D$. Я перерисую диаграмму. $f$ полагается произвольным морфизмом.

Про то, нужно ли требовать коммутацию треугольников, я подумаю.
Литературу почитаю, но беглым просмотром не нашел ничего про общий случай моего вопроса.

[zeitraffer]

Ну, вики по ссьілкам - самьій полньій ресурс в сети по ТК. Может они и не затронули нужньій вам вопрос (я привьік на него ссьілаться, поскольку он лучший, но и он может бьіть неполньім).

Почему там контравариантность. В общем случае, если мьі по функтору двух аргументов $ L(-, -) $, ковариантному по обоим, строим $ R(-, -) $ такой, что при любом фиксированном первом аргументе функтор одного аргумента $ L(A, -) $ сопряжен слева функтору $ R(A, -) $, то полученньій $ R(-, -) $ будет контравариантньім по первому аргументу. В данном случае $ L(A, B) = A \times B $, $ R(A, B) = {B} ^ {A} $.

Сейчас нарисую доказательство, если надо.

[Xaositect]

Mysterious Light в сообщении #914816 писал(а):

Я знаю, что $\mathfrak{Hom}\colon \mathcal{C}^{op}\times\mathcal{C}\to\mathrm{Set}$ контравариатен по первому аргументу и ковариантен по второму. Хочу понять, можно ли и в каких случаях можно перенести эти свойства на экспоненциалы, т.е. $A^B$ ковариантен по $A$ и контравариантен по $B$.

Ковариантность: морфизму $f\colon A_1 \to A_2$ соответствует морфизм $\widehat{f\circ \mathrm{ev}}\colon A_1^B \to A_2^B$.
С контравариантностью сложнее. Существовние $A^B$ дает взаимно-однозначное соответствие $\mathrm{Hom}(C, A^B) \leftrightarrow \mathrm{Hom}(C\times B, A)$, функториальное по всем переменным (контравариантно по $B$ и $C$, ковариантно по $A$).
Для $g\colon B_1\to B_2$ есть естественное преобразование из $\mathrm{Hom}(-\times B_2, A)$ в $\mathrm{Hom}(-\times B_1, A)$ (композиция с $\mathrm{id\times g}$), значит, есть естественное преобразование из $\mathrm{Hom}(-, A^{B_2})$ в $\mathrm{Hom}(-, A^{B_1})$ и по лемме Йонеды ему соответствует морфизм $A^{B_2}\to A^{B_1}$. Проверьте, не напутал ли.

[Mysterious Light]

Спасибо всем, буду разбираться.

[Xaositect]

Xaositect в сообщении #914834 писал(а):

Для $g\colon B_1\to B_2$ есть естественное преобразование из $\mathrm{Hom}(-\times B_2, A)$ в $\mathrm{Hom}(-\times B_1, A)$ (композиция с $\mathrm{id\times g}$), значит, есть естественное преобразование из $\mathrm{Hom}(-, A^{B_2})$ в $\mathrm{Hom}(-, A^{B_1})$ и по лемме Йонеды ему соответствует морфизм $A^{B_2}\to A^{B_1}$. Проверьте, не напутал ли.

В итоге получается $\widehat{\mathrm{ev}\circ[g, \mathrm{id}]}$.

[Mysterious Light]

Ковариантность:
Сопоставляем $g\colon B\to D$ морфизм $\bar{g}\colon B^A\to D^A$

$$\xymatrix{ A\!\times\! D^A \ar[rr]^-{\operatorname{ev}} && D \\ A\!\times\! B^A \ar[r]^-{\operatorname{ev}} \ar@{-->}[u]_{[\operatorname{id},\bar{g}]} & B \ar[ru]_g & \\ A\!\times\! C \ar[u]_{[\operatorname{id},\hat{f}]} \ar@(l,l)/^4pc/@{->}[uu]^{[\operatorname{id},\widehat{gf}]} \ar[ru]_f && }$$

Коммутация либо левого треугольника, либо верхнего правого квадрата влечёт коммутацию всей диаграммы. Верхний квадрат не включает в себя "произвольный" $f$

$$\xymatrix{ A\!\times\! D^A \ar[rr]^-{\operatorname{ev}} && D \\ & B \ar[ru]_g \\ A\!\times\! B^A \ar[ru]_-{\operatorname{ev}} \ar@{-->}[uu]^{[\operatorname{id}_A, \bar{g}]} & }$$

$\bar{g} = \widehat{g\circ\operatorname{ev}}$ существует и единственен, заставляющий коммутировать квадрат и верхнюю диаграмму.
Обращаем внимание, что $\overline{g_1\circ g_2} = \bar{g}_1 \circ \bar{g}_2$ по единственности из диаграммы

$$\xymatrix{ A\!\times\! E^A \ar[r]^-{\operatorname{ev}} & E \\ A\!\times\! D^A \ar[r]^-{\operatorname{ev}} \ar@{-->}[u]^{[\operatorname{id}_A, \bar{g}_1]} & D \ar[u]_{g_1} \\ A\!\times\! B^A \ar[r]_-{\operatorname{ev}} \ar@{-->}[u]^{[\operatorname{id}_A, \bar{g}_2]} & B \ar[u]_{g_2} }$$

Я так понимаю, $\operatorname{ev}_B \colon A\!\times\! B^A \to B$ типа алгебра.


Контравариантность:
Сопоставляем $g\colon D\to B$ морфизм $\bar{g}\colon B^A\to D^A$

$$\xymatrix{ D\!\times\! A^D \ar[rr]^-{\operatorname{ev}} && A \\ & B\!\times\! A^B \ar[ru]_{\operatorname{ev}} & \\ D\!\times\! A^B \ar[ru]_{[g,\operatorname{id}]} \ar@{-->}[uu]^{[\operatorname{id},\bar{g}]} }$$

$\bar{g} = \hat{\;}\left(\operatorname{ev}\circ [g,\operatorname{id}_{A^B}]\right)$ существует и единственно, заставляющее коммутировать приведённую диаграмму.
Аналогично показывается, что $\overline{g_1\circ g_2} = \bar{g}_2 \circ \bar{g}_1$

Так как-то. В принципе, смысл формул в двух случаях понятен.