Одна система нелинейных алгебраических уравнений

[hazzo]

Дана система нелинейных алгебраических уравнений вида:
$a,x_i_j \in \mathbb{Q}\\ \prod_{j=1}^n (a-x_i_j) = 0, i=1, 2,..., m$
a - дано, нужно определить $x_i_j$.
Можно ли сказать, что, если в качестве критерия оптимизации использовать сумму квадратов значений уравнений, то решением будет тривиальное среднеарифметическое от известных членов при соответствующих переменных (среднеарифметическое частных решений)? Это следует из требования равенства нулю частных производных суммы квадратов уравнений.

[ИСН]

У Вас для поиска $m\cdot n$ неизвестных - только $m$ условий? Которые к тому же тривиально выполняются, если сделать все неизвестные (или часть их) равными $a$? Вы действительно хотели сказать именно это?

[hazzo]

Да, именно так. Дело в том, что каждая $x_i_j$ может быть равна только a или -a. Нужно найти общее решение.

[ИСН]

Если не прилетит ещё каких-нибудь подобных уточнений, ставящих всё с ног на голову, то общее решение такое: в каждом столбце одно (неважно какое) значение равно $a$, остальные - какие угодно.

[hazzo]

Я наверно не правильно написал систему уравнений. Давайте на примере лучше.
$\begin{cases} \text{$(\frac 3 2 - x_1)(\frac 3 2 - x_2)(\frac 3 2 - x_3)=0$;}\\ \text{$(\frac 3 2 + x_1)(\frac 3 2 - x_3)=0$;}\\ \text{$(\frac 3 2 + x_2)(\frac 3 2 + x_3)(\frac 3 2 - x_4)=0$;}\\ \text{$(\frac 3 2 - x_1)(\frac 3 2 + x_3)(\frac 3 2 + x_4)=0$.} \end{cases}$
Нужен метод решения в общем случае.

[ИСН]

Прилетело. Оказывается, и неизвестных у нас не $m\cdot n$, и уравнения не такие.
Я посижу, подожду - может, ещё что-нибудь прилетит.

[hazzo]

Извините пожалуйста. Теперь точно все правильно.

[Евгений Машеров]

С учётом

hazzo в сообщении #914697 писал(а):

Дело в том, что каждая $x_i_j$ может быть равна только a или -a.

получается система логических уравнений.
Переменные $L_i$ равны "истина", если $x_i=\frac 3 2$ и "ложь", если $x_i=-\frac 3 2$

$\begin{cases} \text{$L_1\bigvee L_2\bigvee L_3=true$}\\ \text{$\neg L_1\bigvee L_3=true$}\\ \text{$\neg L_2\bigvee \neg L_3\bigvee L_4=true$}\\ \text{$L_1\bigvee \neg L_3\bigvee \neg L_4=true$} \end{cases}$

[ИСН]

Система логических уравнений - это одно логическое уравнение, да ещё находящееся в КНФ. Ну так это NP-полная задача. Можете сразу браться за перебор.
А вот критерии оптимизации, производные и вообще всякая хрень с действительными числами сюда относятся чуть менее, чем малосольные огурцы, которых, кстати, я вчера не нашёл в магазине. С чего бы это, а?

[hazzo]

Спасибо Вам всем. Я как раз и хотел понимать, можно решить систему в общем случае только перебором или нет.