Особая точка. ДУ.

[falazure123]

Здравствуйте.
Не понимаю с чего начать решать данную задачу:

Дано уравнение в полных дифференциалах $ Mdx + Ndy = 0 $
Нужно доказать, что если существует замкнутая интегральная кривая, то внутри существует "особая точка"
то есть существует точка $x_0 , y_0$ , такая что $M(x_0,y_0) = N(x_0,y_0) = 0 $

Можете какую-нибудь наводящую мысль дать?

[Munin]

Назовём заданную замкнутую интегральную кривую "кольцом". Возьмём крайние нижнюю, верхнюю, левую, правую точки кольца. В них выполняется, соответственно, $M=0$ (два раза) и $N=0$ (два раза). Правее крайней нижней и крайней верхней точек, $M$ имеет один знак (не ограничивая общности, допустим, что $M>0$), а левее - другой знак ($M<0$). Точно так же, выше крайней левой и крайней правой точек $N>0,$ а ниже - $N<0$ (эти знаки уже зафиксированы предыдущим выбором). Внутри кольца между крайней нижней и крайней верхней точками проходит, как минимум, одна непрерывная линия, на которой $M=0,$ а между крайней левой и крайней правой точками - линия, на которой $N=0.$ Где-то они пересекаются.

Разумеется, на кольце и внутри него $M$ и $N$ должны существовать и быть непрерывными, но это, как я понимаю, подразумевается.

[Evgenjy]

falazure123 в сообщении #914720 писал(а):

если существует замкнутая интегральная кривая, то внутри существует "особая точка"

Индекс нормального вектора $(M, N) $ вдоль замкнутой интегральной кривой отличен от нуля.

[пианист]

Добавлю свои 5 копеек.
Там есть общая теоремка: степень векторного поля на замкнутой ориентированной поверхности равна сумме индексов особых точек поля внутри этой поверхности.

[Evgenjy]

Существует $F: F_x=M, F_y=N$. Внутри замкнутой интегральной кривой $F$ имеет экстремум.

[falazure123]

Munin в сообщении #914734 писал(а):

Внутри кольца между крайней нижней и крайней верхней точками проходит, как минимум, одна непрерывная линия, на которой $M=0,$ а между крайней левой и крайней правой точками - линия, на которой $N=0.$ Где-то они пересекаются.

Разумеется, на кольце и внутри него $M$ и $N$ должны существовать и быть непрерывными, но это, как я понимаю, подразумевается.

Да, функции непрерывны, это подразумевается.
Откуда мы знаем, что внутри кольца проходит такая линия?

P.s. Про векторные поля и тп еще не было теорем к сожалению.

[Munin]

falazure123 в сообщении #914811 писал(а):

Откуда мы знаем, что внутри кольца проходит такая линия?

По теореме о промежуточном значении (aka Больцано-Коши) для каждого вертикального сечения кольца есть точка, в которой $M=0.$

Хм-м-м, вот как от точек перейти к линии... Надо как-то использовать непрерывность $M.$

[falazure123]

Munin в сообщении #914734 писал(а):

Назовём заданную замкнутую интегральную кривую "кольцом". Возьмём крайние нижнюю, верхнюю, левую, правую точки кольца. В них выполняется, соответственно, $M=0$ (два раза) и $N=0$ (два раза). Правее крайней нижней и крайней верхней точек, $M$ имеет один знак (не ограничивая общности, допустим, что $M>0$), а левее - другой знак ($M<0$). Точно так же, выше крайней левой и крайней правой точек $N>0,$ а ниже - $N<0$ (эти знаки уже зафиксированы предыдущим выбором).

Тогда еще вопрос: почему в верхней , нижней точках выполняются такие равенства, а левее и правее неравенства?

а насчет от точек перейти к линии тоже не совсем понятно. есть 2 точки с одинаковыми значениями. их нужно как-то соединить... и на всей этой линии будет тоже значение ноль?

[Brukvalub]

Интегральная кривая - это линия уровня потенциала, отвечающего уравнению. Рассмотрим замкнутую конечную область, ограниченную имеющейся по условию замкнутой линией уровня, в этой области потенциал достигает максимума и минимума, причем непостоянный потенциал не может достигать оба их на границе.

[Munin]

falazure123 в сообщении #914854 писал(а):

Тогда еще вопрос: почему в верхней , нижней точках выполняются такие равенства, а левее и правее неравенства?

Посмотрите, куда направлен касательный вектор к кольцу.

falazure123 в сообщении #914854 писал(а):

а насчет от точек перейти к линии тоже не совсем понятно. есть 2 точки с одинаковыми значениями. их нужно как-то соединить... и на всей этой линии будет тоже значение ноль?

Представьте себе поверхность функции $M(x,y).$ Эта функция где-то положительна, где-то отрицательна, и везде непрерывна. Значит, существует линия, отделяющая положительные значения от отрицательных. По меньшей мере линия. И разумеется, эта линия, если она есть, проходит через нулевые точки на кольце.

А вообще, все вам советуют другой способ решения, я допускаю, что моя идея дурная. Попробуйте послушать их.

[falazure123]

Munin в сообщении #914862 писал(а):

А вообще, все вам советуют другой способ решения, я допускаю, что моя идея дурная. Попробуйте послушать их.

У всех остальных используются различные понятия и теоремы, которых еще не было в курсе ДУ ;c

[Brukvalub]

falazure123 в сообщении #914866 писал(а):

Munin в сообщении #914862 писал(а):

А вообще, все вам советуют другой способ решения, я допускаю, что моя идея дурная. Попробуйте послушать их.

У всех остальных используются различные понятия и теоремы, которых еще не было в курсе ДУ ;c

В моем рассуждении используется только стандартная схема решения уравнения в полных дифференциалах. Ее тоже не было?

[falazure123]

Brukvalub в сообщении #914870 писал(а):

falazure123 в сообщении #914866 писал(а):

Munin в сообщении #914862 писал(а):

А вообще, все вам советуют другой способ решения, я допускаю, что моя идея дурная. Попробуйте послушать их.

У всех остальных используются различные понятия и теоремы, которых еще не было в курсе ДУ ;c

В моем рассуждении используется только стандартная схема решения уравнения в полных дифференциалах. Ее тоже не было?

Была. Искали функцию $ U $ такую что $ dU = $ исходному уравнению.
$dU / dx = M $ и $ dU/dy = N $

[Brukvalub]

Вот эта функция $U$ и называется "потенциал векторного поля, определяемого дифуром". Теоремы Вейерштрасса о функции, непрерывной на замкнутой ограниченной области и необходимого условия экстремума дифференцируемой функции в терминах ее частных производных у вас тоже не было?

[falazure123]

Brukvalub в сообщении #914886 писал(а):

Вот эта функция $U$ и называется "потенциал векторного поля, определяемого дифуром". Теоремы Вейерштрасса о функции, непрерывной на замкнутой ограниченной области и необходимого условия экстремума дифференцируемой функции в терминах ее частных производных у вас тоже не было?

дано, что функция имеет локальный экстремум в точке. если в этой точке есть все частные производные, то все они равны нулю. Это теорема о необходимых условиях экстремума.

непрерывная на замкнутой ограниченной области функция достигает по крайней мере один раз наибольшего значения M и наименьшего значения m. Это теорема Вейерштрасса.

по первой теореме : вопрос. где у нас даны локальные экстремумы ? частные производные там будут. значит они будут все равны нулю.

ответ на вопрос дает теорема Вейерштрасса, так?

и я не понимаю, к какой функции мы применяем теорему Вейерштрасса? к $ U $ ? я не представляю картинку просто, что и где.