Числовое множество с занимательным свойством

[Ktina]

Найдите все натуральные числа $N$, не меньшие трёх, для каждого из которых существует множество из $N$ (попарно - прим. ред.) различных натуральных чисел, обладающее следующим свойством:
для любого числа $A$ из этого множества найдутся два отличных от него и друг от друга числа $B$ и $C$ из этого же множества, такие, что $A=B+C$ или $A=\dfrac{B+C}{5}$.

Мне кажется, что для $N\geqslant5$ такое множество всегда можно построить.
Действительно, возьмём числа Фибоначчи со второго (которое равно 1) по $N$-ное. А также возьмём число 7.
Тогда для любого числа $A$, кроме первых двух, найдётся

$$A=B+C$$

, для числа 1 найдётся

$$1=\dfrac{2+3}{5}$$

, а для числа 2 найдётся

$$2=\dfrac{3+7}{5}$$

.

Ещё мне кажется, что для $N=3$ такое множество построить нельзя.
И вправду, при $N=3$ имеем три числа (в порядке возрастания): $x, y, z$. Но тогда $x$ может быть равен только $\dfrac{y+z}{5}$, а $y$ - только $\dfrac{x+z}{5}$. Но тогда $x>y$, а должно было бы быть наоборот.

А вот что у нас происходит при $N=4$?
Пожалуйста, помогите решить.
Заранее спасибо!

[Shadow]

Ktina в сообщении #914579 писал(а):

А вот что у нас происходит при $N=4$?
Пожалуйста, помогите решить.

Пусть $a<b<c<d$

$b \le \dfrac{c+d}{5}$

$c \le a+b\quad d \le a+2b \Rightarrow b \le \dfrac{2a+3b}{5} \Rightarrow b \le a$ - противоречие.

При $N \ge 5$ и натуральный ряд подходит (без 5 при $N=5$)

-- 03.10.2014, 03:03 --

Shadow в сообщении #914731 писал(а):

$c \le a+b$

Опс, не обязательно, но $c+d$ все таки можно оценить сверху

-- 03.10.2014, 03:25 --

Нет, случаи $c=\dfrac{b+d}{5} \text { и } c=\dfrac{a+d}{5}$ лучше рассмотреть отдельно, сразу появляется противоречие:

1) $d=5c-b \le b+c \Rightarrow 4c \le 2b$

Второе аналогично

[Ktina]

Shadow
Спасибо!