Как из среднего Колмогорова получить другие средние?

[Aritaborian]

Во-первых, среднее арифметическое одно-единственное, а не для такой-то или сякой-то $\varphi(t)$. Давайте будем употреблять термин «среднее Колмогорова для такой-то $\varphi(t)$». А то запутаемся.
Итак, заново. Найдите среднее Колмогорова $M(x_1,x_2,...,x_n)$, если $\varphi(t)=2t$. Все выкладки напишите полностью, не пропуская шагов.

[upgrade]

0. аргумент в $$\varphi^{-1}(t) - это выражение в скобках в формуле Колмогорова $$\varphi^{-1}\left(\frac{\varphi(x_{1})+\varphi(x_{2})+...+\varphi(x_{n})}{n}\right)
вот это: $$\frac{\varphi(x_{1})+\varphi(x_{2})+...+\varphi(x_{n})}{n}

1. чтобы его вписать в обратную функцию, находим эту обратную функцию для $$\varphi(t)=2t
$$\varphi^{-1}(t)=\frac{t}{2} или $$\varphi^{-1}(t)=\frac{1}{2}t

2. теперь подставляем то что получили в формулу Коломогорова (пока без раскрытия аргумента)

$$\frac{1}{2}\left(\frac{\varphi(x_{1})+\varphi(x_{2})+...+\varphi(x_{n})}{n}\right)

3. раскрываем аргумент

$$\frac{1}{2}\left(\frac{2x_{1}+2x_{2}+...+2x_{n}}{n}\right) = $$\frac{2}{2}\left(\frac{x_{1}+x_{2}+...+x_{n}}{n}\right) = $$\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n {x_i}
...
однако
матожидание, которое суть среднее арифметическое - линейно
соответственно
$$M[2X] = 2M[X]
матожидание для удвоенных значений случайной величины равно удвоенному матожиданию этой случайной величины.
что выразится примерно так
$$\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n {2x_i} = $$2\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n {x_i}

-- 07.08.2014, 18:22 --

Aritaborian в сообщении #894020 писал(а):

Во-первых, среднее арифметическое одно-единственное, а не для такой-то или сякой-то $\varphi(t)$.

не могли бы пояснить вот эту фразу?

-- 07.08.2014, 18:29 --

я имею ввиду, что когда ищу среднее арифметическое для значений, которые зависят от аргумента (среднее арифметическое значений функции), то оно (его итоговая формула) разное для разных функций
для $$\varphi(t)=t - одна формула среднего арифметического, для $$\varphi(t)=t^2 другая

-- 07.08.2014, 18:31 --

в общем, спасибо! похоже немного разобрался...
действительно, среднее арифметическое оно же имеет одинаковый вид для любых функций...
осталось разобраться о чем формула Колмогорова тогда...

[Munin]

upgrade в сообщении #894024 писал(а):

однако
матожидание, которое суть среднее арифметическое - линейно
соответственно
$M[2X] = 2M[X]$

однако
при чём здесь это, с бухты-барахты?

-- 07.08.2014 19:59:23 --

P. S. Вы не научились нормально писать формулы. Надо не ставить два значка доллара вначале, а окружать формулу одним значком доллара вначале, и одним в конце. Не
$$ ...
а
$ ... $

[upgrade]

ни при чем, это вообще из другой оперы. я увидел у Колмогорова функции и решил что туда подставляется любая функция и ищется некое среднее.
P.S.
понятно, спасибо

[Aritaborian]

Формула Колмогорова именно о том, о чём она есть: она для вычисления среднего Колмогорова. А средним арифметическим называется среднее Колмогорова при выборе в качестве $\varphi(t)$ тождественного преобразования. И только оно.
Я вижу, что вы что-то неправильно понимаете в определениях, но не могу пока сообразить, как чётко указать вам на ваше недопонимание.

-- 07.08.2014, 19:01 --

upgrade в сообщении #894039 писал(а):

ни при чем, это вообще из другой оперы

Ну так и не пишите сюда это.

[ИСН]

Да, туда подставляется любая функция и ищется некое среднее. И что.

[upgrade]

Aritaborian в сообщении #894040 писал(а):

Я вижу, что вы что-то неправильно понимаете в определениях, но не могу пока сообразить, как чётко указать вам на ваше недопонимание.

уже указали, вот тут

Aritaborian в сообщении #894020 писал(а):

среднее арифметическое одно-единственное, а не для такой-то или сякой-то $\varphi(t)$.

[upgrade]

еще один вопрос возник...
допустим имеется два массива данных, полученных путем сравнения двух случайных величин $X$ и $Y$
1. числа первого массива - это $X_i-Y_i$
2. числа второго массива - это $\frac{X_i}{Y_i}$

насколько корректно использование среднего арифметического для обоих массивов?
например, нашел вот какое утверждение:
"Основополагающим требованием является независимость выводов от того, какой именно шкалой измерения воспользовался исследователь (среди всех шкал, переходящих друг в друга при допустимых преобразованиях).
в том же источнике
"Теорема 2. В шкале интервалов из всех средних по Колмогорову допустимым является только среднее арифметическое."
"Теорема 3. В шкале отношений из всех средних по Колмогорову допустимыми являются только степенные средние $c$ и среднее геометрическое."

правильно ли я понимаю, что некорректно применять среднее арифметическое ко второму массиву (состоящему из отношений $\frac{X_i}{Y_i}$)?

[Aritaborian]

Да, теорема 3 говорит именно об этом.
А что за источник-то?

[Lukum]

Все зависит от целей сравнений. Процедуры должны быть осмысленными.
ps источник Орлов видимо, эконометрика.

[upgrade]

Aritaborian в сообщении #914305 писал(а):

Да, теорема 3 говорит именно об этом.

спасибо

Aritaborian в сообщении #914305 писал(а):

А что за источник-то?

Орлов, статья "МЕСТО ТЕОРИИ ИЗМЕРЕНИЙ В МЕТОДАХ АНАЛИЗА ДАННЫХ"

Lukum в сообщении #914311 писал(а):

Процедуры должны быть осмысленными.

так вот ... осмысляю
для анализа массива данных среднее геометрическое "работает" (получаются красивые графики и т.д.), но работает вообще любое среднее - везде графики разной степени красивости, в том числе и с отношениями..

[Aritaborian]

Красивость $\neq$ целесообразность. Вы опасно заблуждаетесь, полагая, что любая функция для среднего работает. Так можно выплеснуть ребёнка вместе с водой и понаделать абсолютно неверных выводов.

[arseniiv]

Добавлю: функция $\phi$ в том среднем Колмогорова как раз намекает на то, где применимо такое $\phi$-среднее, если известно, где применимо $\operatorname{id}$-среднее, т. е. среднее арифметическое.

[upgrade]

Aritaborian в сообщении #914325 писал(а):

Вы опасно заблуждаетесь, полагая, что любая функция для среднего работает.

ну как "работает":
например ряд $2,3,4,5,6,7,8$ имеет среднее арифметическое "разниц" $1$, чтобы найти последний член ряда надо к первому прибавить $1\cdot (n-1)$, где $n$ - порядковый номер последнего члена ряда, а среднее отклонение разниц от среднего арифметического покажет $0$.
этот же ряд имеет среднее геометрическое "отношений" $1,25992105$, чтобы найти последний член надо первый член ряда умножить на $1,25992105^{n-1}$, ...аналог "среднего отклонения" $1$
и первый и второй метод показывают как отстоят друг от друга значения, только шкалы разные..

[Aritaborian]

Вот только загвоздка в том, что разница для последовательности $\{a_n\}=n$ равна $1$, сколько бы членов мы не взяли. И это в самом деле характеризует последовательность.
А теперь сравним со вторым способом... Уловили?