RC - цепь, выходной сигнал

[chem_victory]

Доброго всем времени суток.


Есть RC цепь, необходимо расчитать выходное напряжение на резисторе, в зависимости от входного сигнала.


по 2з. Киргофа

$U_{in}(t)=R\frac{dQ(t)}{dt}+\frac{Q(t)}{C}.$

$\frac{dQ(t)}{dt}+\frac{Q(t)}{RC}=0.$

$Q=C_{0}(t)e^{-\frac{t}{RC}}.$

$C'_{0}(t)e^{-\frac{t}{RC}}=\frac{U_{in}(t)}{R}.$

$C_{0}(t)=\int_{a}^{t}\frac{U_{in}(\tau)}{R}e^{\frac{\tau}{RC}}d\tau.$

$Q(t)=\int_{a}^{t}\frac{U_{in}(\tau)}{R}e^{-\frac{t-\tau}{RC}}d\tau.$

$U_{out}(t)=R\frac{dQ(t)}{dt}=\int_{a}^{t}U_{in}(\tau)e^{-\frac{t-\tau}{RC}}d\tau.$


Очевидно, $a $ надо положить = 0 (ведь, наблюдается система с этого момента времени, начальные условия -- нулевые).
Но, в лекциях по радиофизике, почему-то пишут
$U_{out}(t)=R\frac{dQ(t)}{dt}=\int_{-\infty}^{t}U_{in}(\tau)e^{-\frac{t-\tau}{RC}}d\tau.$

Т.е, нижнй предел берется $-\infty$ , а при подстановке какого-либо $U_{in}(t)$ (т.е при непосредственным расчете выходного), получают ответ, скрывая ход решения, как при подстановке 0.

Помогите разобраться!
Спасибо.

[upgrade]

chem_victory в сообщении #913494 писал(а):

ведь, наблюдается система с этого момента времени,

о чем говорит подинтегральное произведение и его множители $U_{in}(\tau)\cdot \exp^{-\frac{t-\tau}{RC}}\cdot d\tau$ ?

[chem_victory]

upgrade в сообщении #913511 писал(а):

chem_victory в сообщении #913494 писал(а):

ведь, наблюдается система с этого момента времени,

о чем говорит подинтегральное произведение и его множители $U_{in}(\tau)\cdot \exp^{-\frac{t-\tau}{RC}}\cdot d\tau$ ?

Что-то не понял намёка, поясните.
Я понимаю, что a - может быть произвольным, в принципе. но почему она берется равной $- \infty$
Ведь, $U_{in}(\tau) =0, \tau <0$. Почему бы не брать её равной 0.

[Munin]

chem_victory в сообщении #913494 писал(а):

Очевидно, $a $ надо положить = 0 (ведь, наблюдается система с этого момента времени, начальные условия -- нулевые).

А где сказано, что начальные условия нулевые?

[upgrade]

chem_victory в сообщении #913519 писал(а):

Что-то не понял намёка, поясните.

ну вот $U_{in}(\tau)$ - это что за функция,
$\exp^{-\frac{t-\tau}{RC}}$ - а это что за функция?

что дает произведение их значений в точках

почему верхний предел $t$ а не $+\infty$?

[profrotter]

Цепь, описываемая линейным дифференциальным уравнением, является линейной, то есть для неё выполняется принцип суперпозиции. Это означает, что если ввести оператор цепи $u_{out}(t)=L\{u_{in}(t)\}$, то он будет обладать свойством линейности: $L\{k_1u_1(t)+k_2u_2(t)\}=k_1L\{u_1(t)\}+k_2L\{u_2(t)\}$.

Сигнал на входе цепи можно представить в виде $u_{in}(t)=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}u_{in}(t')\delta(t-t')dt'$. Тогда для сигнала на выходе цепи получим $u_{out}(t)=L\left\{\int\limits_{-\infty}^{+\infty}u_{in}(t')\delta(t-t')dt'\right\}$. В виду свойства линейности $u_{out}(t)=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}u_{in}(t')L\{\delta(t-t')\}dt'$ или

$$u_{out}(t)=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}u_{in}(t')h(t-t')dt',$$

где $h(t)=L\{\delta(t)\}$ - реакция цепи на дельта-импульс, называется импульсной характеристикой цепи. Оператор цепи является оператором свёртки.

Импульсная характеристика может быть отлична от нуля только при $t>0$, поскольку является реакцией на воздействие, локализованное в момент времени $t=0$, и, ввиду принципа причинности, не может иметь место раньше воздействия. Указанное свойство приведёт к тому, что верхний предел интегрирования станет равным $t$, когда мы подставим выражение для импульсной характеристики физически-реализуемой цепи, поскольку при этом подынтегральное выражение заведомо равно нулю при $t-t'<0$. В случае RC-цепи импульсная характеристика $h(t)=\frac{1}{\tau}\sigma(t)e^{-\frac{t}{\tau}}$, где $\sigma(t)$ - функция Хевисайда (единичный скачок), $\tau=RC$ - постоянная времени цепи.

Именно в том виде, в котором я привёл формулу (так называемая формула Дюамеля) я и предпочитаю её запоминать. Далее, в зависимости от того какая задача рассмаривается при вычислении интеграла будет конкретизирован нижний предел. Если в задаче предполагается, что воздействие на цепь имеет место в момент времени $t=0$ при нулевых начальных условиях, то нижний предел будет нулевым, поскольку сигнал $u_{in}(t)$ равен нулю при отрицательных $t$. Если же рассматривается стационарный режим цепи (подключение источника имело место давным - давно), то нижний предел интегрирования останется минус-бесконечным.

Запись формулы Дюамеля с бесконечным нижним пределом охватывает более широкий круг задач.

-- Ср окт 01, 2014 19:05:31 --

Кстати, на схеме у вас не RC, а СR-цепь, а выражения пишете для RC.

[Nether]

Есть такой предмет - РТЦ - радиотехнические цепи и сигналы.
Потому каждой цепи соответствуют свои сигналы.
Возникает вопрос что из себя представляет входное напряжение? И какие параметры R и C?
А вообще по таким вопросам есть задачник:
Шебес М. Р.
Теория линейных электрических цепей в упражнениях и задачах.
Изд. Высшая школа.
М.; 1967г.
Если входное напряжение - некоторое постоянное напряжение, то цепь будет представлять собой интересное физическое явление - заряд конденсатора через резистор. Это релаксация - процесс уравнивания. В этом процессе есть накопитель -конденсатор, и есть отрицательная обратная связь (ООС), что выражается дифференциальным уравнением... Решение этого уравнения даёт падающую экспоненту. (Если была бы ПОС (положительная обратная связь) , то экспонента была бы растущая - это бывает при росте денег в банке - капитализации вкладов...)
В физике существуют накопительные ООС:
1. спад тока в катушке, замкнутой на резистор.
2. разряд конденсатора через резистор,
3. остывание горячего тела в холодной окружающей среде...
Все эти явления имеют график потенциала во времени - падающую экспоненту.
Правило Ленца как раз и определяет ООС. (В диф уравнении есть знак минус перед коэффициентом..., который не всегда могут объяснить. Наличие минуса объясняется наличием ООС.)
Кроме процессов в эфире (3 вида релаксаций), существуют процессы в кадрах Вселенной - в механике (в движении).
Так, например, масса - является аналогом индуктивности... Это значит, что если рассмотреть движение тела по инерции как накопительную ООС, и написать аналогичное диф. уравнение, то можно вывести 2-й закон Ньютона.
В Вашем примере на выходе фиксируется Ток заряда конденсатора - что соответствует дифференциальной цепочке...

Toucan:

См. post915843.html#p915843

[chem_victory]

profrotter в сообщении #914292 писал(а):

Цепь, описываемая линейным дифференциальным уравнением, является линейной, то есть для неё выполняется принцип суперпозиции. Это означает, что если ввести оператор цепи $u_{out}(t)=L\{u_{in}(t)\}$, то он будет обладать свойством линейности: $L\{k_1u_1(t)+k_2u_2(t)\}=k_1L\{u_1(t)\}+k_2L\{u_2(t)\}$.

Сигнал на входе цепи можно представить в виде $u_{in}(t)=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}u_{in}(t')\delta(t-t')dt'$. Тогда для сигнала на выходе цепи получим $u_{out}(t)=L\left\{\int\limits_{-\infty}^{+\infty}u_{in}(t')\delta(t-t')dt'\right\}$. В виду свойства линейности $u_{out}(t)=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}u_{in}(t')L\{\delta(t-t')\}dt'$ или

$$u_{out}(t)=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}u_{in}(t')h(t-t')dt',$$

где $h(t)=L\{\delta(t)\}$ - реакция цепи на дельта-импульс, называется импульсной характеристикой цепи. Оператор цепи является оператором свёртки.

Импульсная характеристика может быть отлична от нуля только при $t>0$, поскольку является реакцией на воздействие, локализованное в момент времени $t=0$, и, ввиду принципа причинности, не может иметь место раньше воздействия. Указанное свойство приведёт к тому, что верхний предел интегрирования станет равным $t$, когда мы подставим выражение для импульсной характеристики физически-реализуемой цепи, поскольку при этом подынтегральное выражение заведомо равно нулю при $t-t'<0$. В случае RC-цепи импульсная характеристика $h(t)=\frac{1}{\tau}\sigma(t)e^{-\frac{t}{\tau}}$, где $\sigma(t)$ - функция Хевисайда (единичный скачок), $\tau=RC$ - постоянная времени цепи.

Именно в том виде, в котором я привёл формулу (так называемая формула Дюамеля) я и предпочитаю её запоминать. Далее, в зависимости от того какая задача рассмаривается при вычислении интеграла будет конкретизирован нижний предел. Если в задаче предполагается, что воздействие на цепь имеет место в момент времени $t=0$ при нулевых начальных условиях, то нижний предел будет нулевым, поскольку сигнал $u_{in}(t)$ равен нулю при отрицательных $t$. Если же рассматривается стационарный режим цепи (подключение источника имело место давным - давно), то нижний предел интегрирования останется минус-бесконечным.

Запись формулы Дюамеля с бесконечным нижним пределом охватывает более широкий круг задач.

-- Ср окт 01, 2014 19:05:31 --

Кстати, на схеме у вас не RC, а СR-цепь, а выражения пишете для RC.

Большое спасибо! Всё четко расписали.
*да, перепутал рисунок.

[Toucan]

Nether в сообщении #914540 писал(а):

Кроме процессов в эфире (3 вида релаксаций), существуют процессы в кадрах Вселенной - в механике (в движении).
Так, например, масса - является аналогом индуктивности... Это значит, что если рассмотреть движение тела по инерции как накопительную ООС, и написать аналогичное диф. уравнение, то можно вывести 2-й закон Ньютона.

Nether, предупреждение за лженаучные измышления

chem_victory, замечание за избыточное цитирование.

Тема перемещена из форума «Физика» в форум «Механика и Техника»