закон сохранения для нелинейного уравнения

[apolonka222]

помогите решить.
$\omega_{xy} = f(\omega)$
где функция $f(\omega) =a\omega^k$
в указании написано " представьте рассматриваемое уравнение в виде уравнение Эйлера-Лагнранжа ( $ \frac{\partial L}{\partial \omega} - D_x(\frac{\partial L}{\partial \omega_x}) - D_y(\frac{\partial L}{\partial \omega_y}) $ ) при $y=t$.
Лагранжиан $L$ искать в виде суммы двух слагаемых, одно из которых квадратично по производным, а второе зависит только от $f(\omega)$ "
Как это делается?

[ИСН]

Делается просто: запишите общий вид Вашего лагранжиана (словами он уже записан, теперь надо формулами), подставьте в диффур, упростите, а потом смотрите, какой конкретно должен был быть лагранжиан, чтобы получился такой диффур.
А чем Вам это поможет, и при чём тут закон сохранения?

[apolonka222]

ИСН в сообщении #913805 писал(а):

при чём тут закон сохранения?

В условии моего задания сказано "напишите условия сохранения для нелинейного уравнения".
А как находить Лаграгжиан? Я просто я этим никогда не сталкивался ранее, и хотел бы понять как его находить)

-- 29.09.2014, 23:55 --

правильно ли я представил $\omega_{xy}$
$ \frac{\partial L}{\partial \omega } - [( \frac{\partial }{\partial x } +\omega_x \frac{\partial }{\partial \omega }+\omega_{xx}\frac{\partial }{\partial \omega_x } + \omega_{xy}\frac{\partial }{\partial \omega_y })(\frac{\partial L }{\partial \omega_x }) + \\ ( \frac{\partial }{\partial y } + \omega_y \frac{\partial }{\partial \omega }+\omega_{xy}\frac{\partial }{\partial \omega_y } + \omega_{yy}\frac{\partial }{\partial \omega_y })(\frac{\partial L }{\partial \omega_y }) ] $

[ИСН]

Допишите "=0", вот и будет то же самое, что $\omega_{xy} = f(\omega)$.
(По-моему, эта банальная ситуация не заслуживала Ваших трудов по записыванию всего в таком аккуратном виде, и моих - по пониманию; ну да ладно.)
Теперь какой вид должен (был) иметь лагранжиан, чтобы убились все члены с $\omega_x$ и $\omega_{xx}$?

[apolonka222]

ИСН в сообщении #913832 писал(а):

Теперь какой вид должен (был) иметь лагранжиан, чтобы убились все члены с $\omega_x$ и $\omega_{xx}$?

$\omega $ не содержит икса?

[ИСН]

Не в этом смысле. (А то так бы и $\omega_{xy}$ убилось.) Не $\omega_x$ должна быть равна нулю. Нет.
А вот то, на что она умножена...

[apolonka222]

$ L = \omega_x \omega_y -2 F(\omega)$ ,
где
$F(\omega) = \int f(\omega) d\omega$
вроде бы так

[olenellus]

Только всё поделить на два и поменять знак с $-$ на $+$. Ведь, смотрите: две $\omega_{xy}$ выскакивают при взятии полных производных. При этом выскакивают с минусом.

Вообще, это уравнение известно под названием f-Гордон. Это если будет желание что-нибудь почитать про его законы сохнанения и симметрии.

-- Пн сен 29, 2014 23:40:06 --

У Вас, кстати, в полной производной $D_y$ опечатка.

[apolonka222]

да , спасибо. Опечатку заметил. Видио в спешке переписывал. Но в тетради ошибки не допустил.
И да , после того как я нашел L что я должен делать дальше?

[olenellus]

olenellus в сообщении #913852 писал(а):

Только всё поделить на два

Это по желанию. Но минус на плюс исправить всё же надо.

apolonka222 в сообщении #913853 писал(а):

И да , после того как я нашел L что я должен делать дальше?

Зависит от того, что вам точно надо, и что до этого было пройдено. Рас Вас заставляют искать лагранжиан, то, видимо, предполагается, что Вы найдёте его симметрии (векторные поля, сохраняющие действие при справедливости равенстве в исходном уравнении). Потом сохраняющийся ток, наверно, предполагается получить из теоремы Нётер.

-- Ср окт 01, 2014 11:49:13 --

Вам же надо, как следует из формулировки задания, обронённой Вами выше, написать условие на симметрию с этим найденным лагранжианом. Видимо так. А были ли какие-либо решения типовых задач? Может, оттуда станет яснее, что от Вас хотят.

[apolonka222]

Ничего не было. Я никогда раньше этим не занимался. Это у меня спецкурс , который сейчас начался в этом семестре.
насколько я понял , то симметрия ищется
$ \xi\frac{\partial L}{\partial x} + \eta\frac{\partial L}{\partial y}+ \zeta\frac{\partial L}{\partial \omega} + \zeta_1\frac{\partial L}{\partial \omega_x}+ \zeta_2\frac{\partial L}{\partial \omega_y} $

где
$\zeta_1 = \zeta_x + (\zeta_{\omega} - \xi_x)\omega_x - \eta_x\omega_y - \xi_{\omega}\omega^2_x - \eta_{\omega}\omega_x\omega_y$
$\zeta_2 = \zeta_y -\xi_y\omega_x + (\zeta_{\omega} -\eta_{y})\omega_{y} -\xi_{\omega}\omega_x\omega_y -\eta_w\omega^2_y$

[пианист]

Если я правильно понял, что Вам нужно (найти законы сохранения для уравнения, воспользовавшись теоремой Нетер), то надо а) решить систему
$X(\omega_{xy}-f(\omega))|_{\omega_{xy}=f(\omega)}=0$
ну т.е. вычислить группу, допускаемую рассматриваемым уравнением (или найти решение в книжке ;); только X нужно продолжить до вторых производных, $+\zeta_{12}\frac{\partial}{\partial\omega_{xy}}$:
$\zeta_{12}=D_y(\zeta_1)-\omega_{xx}D_y(\xi)-\omega_{xy}D_y(\eta)$
б) проверить, что из группы допускается элементарным действием и в) применить теорему Нетер.
Формулы можно глянуть в Ибрагимове или Олвере.