Сепарабельность пространства сходящихся числовых последоват

[трапезун]

Не могу доказать сепарабельность пространства всех сходящихся числовых последовательностей \mathbf{c} с нормой ||x||=\sup_{j}|x_j|.

Требуется помощь

[worm2]

Не уверен, что оно сепарабельно...

[RIP]

Докажите, что (конечные) линейные комбинации векторов $(1,1,1,1,\ldots)$ и $(0,\ldots,0,\stackrel n1,0,\ldots)$, $n\in\mathbb{N}$, с рациональными коэффициентами образуют всюду плотное множество.

Добавлено спустя 7 минут 38 секунд:

P.S. Кстати, в моей подсказке подразумевается, что рассматриваются вещественные последовательности (очевидно, что надо поправить для комплексных).

[worm2]

RIP писал(а):

Докажите, что (конечные) линейные комбинации векторов $(1,1,1,1,\ldots)$ и $(0,\ldots,0,\stackrel n1,0,\ldots)$, $n\in\mathbb{N}$, с рациональными коэффициентами образуют всюду плотное множество.

Так вон как она, сходимость-то, оказывается, хитро используется...

я писал(а):

Не уверен, что оно сепарабельно...

Теперь уверен

[трапезун]

to RIP:

А нельзя ли доказать так же как в книге Люстерник Л. А., Соболев В. И. — Элементы функционального анализа, где доказывается сепарабельность пространства всех последоавтельностей s

[RIP]

Доказывается почти так же, но проблема в том, что далеко не каждую последовательность из рассматриваемого пространства $c$ можно приблизить с помощью последовательностей вида $(x_1,\ldots,x_n,0,0,0,\ldots)$ (можно те и только те, которые...). Вот для этого и нужно $(1,1,1,1,\ldots)$.

[трапезун]

Можно те и только те, которые сходятся к 0? А (1, 1, \ldots) нужно умножить на значение предела и отнять от последовательности?

Тупой. Маюсь со среды. Но не доходит.

[RIP]

трапезун писал(а):

Можно те и только те, которые сходятся к 0?

Правильно.

трапезун писал(а):

А (1, 1, \ldots) нужно умножить на значение предела и отнять от последовательности?

Да. Только не забывайте, что предел может оказаться иррациональным.

[трапезун]

В случае иррационального предела умножать нужно на рациональное число, отличающееся от значения предела на малую величину, скажем, \varepsilon/2?

[RIP]

трапезун писал(а):

В случае иррационального предела умножать нужно на рациональное число, отличающееся от значения предела на малую величину, скажем, \varepsilon/2?

Ну вот, а говорите "тупой". Всё верно.

[трапезун]

RIP, огромное спасибо за подсказки!

Вот то, что получилось в итоге:

Берём произвольный элемент рассматриваемого пространства \xi=(\xi_n)_{n\in\mathbb{N}}, тогда существует \lim_{n\to\infty}\xi_n=A_{\xi}\in\mathbb{R}.

Пусть E_0 - счётное множество элементов вида (r_1,\ldots,r_n,0,0,\ldots,), где r_i\in\mathbb{Q}, а n\in\mathbb{N} и элементов вида a_m=(0,\ldots,0,\stackrel m1,1,\ldots), где m\in\mathbb{N}.

Для любого \varepsilon>0 подберём число r_{\xi}\in\mathbb{Q} таким, что |r_{\xi}-A_{\xi}|<\varepsilon/2.

Так как \xi сходится, то найдётся номер N, зависящий от \varepsilon такой, что \forall n>N |\xi_n-A_{\xi}|<\varepsilon/2.

Для любого n>N |\xi_n-r_{\xi}a_{N+1}^{(n)}|\leq |\xi_n-A_{\xi}|+|A_{\xi}-r_{\xi}a_{N+1}^{(n)}|<\varepsilon. Значит, \sup_{n\geq N+1}|\xi_n-r_{\xi}a_{N+1}^{(n)}|\leq\varepsilon.

Далее, рассмотрим последовательность вида x^{(k)}=(r_1^{(k)},\ldots,r_N^{(k)},0,0,\ldots), где r_1^{(k)}\to\xi_1,\ldots, r_N^{(k)}\to\xi_N при k\to\infty.

Иными словами \forall n=1\ldots N \exists M_n\in\mathbb{N} : \forall k>M_n |r_n^{(k)}-\xi_n|<\varepsilon. Положив M=\max_{1\leq n\leq N}\{M_n\}, для k>M получим
\sup_{1\leq n\leq N}|\xi_n-r_n^{(k)}-r_{\xi}a_{N+1}^{(n)}|<\varepsilon.

Окончательно, \sup_{ n\in\mathbb{N}}|\xi_n-r_n^{(k)}-r_{\xi}a_{N+1}^{(n)}|<\varepsilon при достаточно больших k.

[RIP]

Если Вы хотите, чтобы $E_0$ было всюду плотно, то оно должно быть слегка другим (посмотрите на конечный результат). А так всё более-менее верно вроде. Только можно было чуть попроще: зачем Вам рассматривать последовательность $x^{(k)}$? Вам ведь нужно просто найти рациональные числа $r_1,\ldots,r_N$, чтобы

$$\max_{1\le n\le N}|\xi_n-r_n|<\varepsilon.$$

[трапезун]

Если брать не x^{(k)}, а подходящие рациональные r_1,\ldots,r_N, то E_0 должно состоять из ортов e_n=(0,\ldots,\stackrel n 1,0,\ldots),\; n\in\mathbb{N} и a_m,\; m\in\mathbb{N}?

[трапезун]

RIP, ещё раз спасибо Вам за помощь!

[terminator-II]

участникам диалога: как насчет работы над ошибками?