Дифференциальные операции второго порядка

[kis]

Цитата:

Вычислить

$\operatorname{rot}[\vec a, \operatorname{rot} \vec b]$

$a,b$ - векторные поля.

Единственное, что приходит в голову:

$\operatorname{rot}[\vec a, \operatorname{rot} \vec b] = // \vec B = \operatorname{rot} \vec b// =\operatorname{rot}[a, B] = [\nabla,[a,B]]=[\nabla,[a',B]]+[\nabla,[a,B']]$

Далее к каждому слагаемому применить формулу $[a[bc]]=b(ac)-c(ab)$. Пробовал по разному преобразовывать выражения, но ничего хорошего не получается.

Помогите, пожалуйста.

P.S. Штрихи - это "стрелочка над символом", то есть значок, указывающий на что действует набла.

[Munin]

Правильным путём идёте, только надо до конца добить.

-- 28.09.2014 20:17:48 --

P. S. И не надо бояться операции $(\vec{a}\nabla)\vec{b},$ она ещё пишется $(\vec{a}\operatorname{grad})\vec{b},$ и называется градиентом по направлению. Особенно, если она у вас будет в промежуточных выкладках, а в конце исчезнет.

[kis]

$\operatorname{rot}[\vec a, \operatorname{rot} \vec b] = // \vec B = \operatorname{rot} \vec b// =\operatorname{rot}[a, B] = [\nabla,[a,B]]=[\nabla,[a',B]]+[\nabla,[a,B']]$

1) $[\nabla,[a',B]]=a'(\nabla B)-B(\nabla a')=a'(\nabla \operatorname{rot} b)-\operatorname{rot}b(\operatorname{div} a)$
2) $[\nabla,[a,B']]=a(\nabla B')-B'(\nabla a)=a(\operatorname{div}\operatorname{rot}b)-B'(\nabla a)=-B' (\nabla a)$

$\operatorname{rot}[\vec a, \operatorname{rot} \vec b] = a'(\nabla \operatorname{rot} b)-\operatorname{rot}b \operatorname{div} a -(\operatorname{rot}b)' (\nabla a)$

Оказывается, вот такой ответ будет. Спасибо!

[Munin]

У вас штрихи остались. Чтобы их убрать, "покрутите" произведения, меняя местами сомножители, чтобы привести их к виду "то, на что набла не действует - набла - то, на что набла действует".

[kis]

kis в сообщении #913317 писал(а):

$\operatorname{rot}[\vec a, \operatorname{rot} \vec b] = // \vec B = \operatorname{rot} \vec b// =\operatorname{rot}[a, B] = [\nabla,[a,B]]=[\nabla,[a',B]]+[\nabla,[a,B']]$

1) $[\nabla,[a',B]]=a'(\nabla B)-B(\nabla a')=a'(\nabla \operatorname{rot} b)-\operatorname{rot}b(\operatorname{div} a)$
2) $[\nabla,[a,B']]=a(\nabla B')-B'(\nabla a)=a(\operatorname{div}\operatorname{rot}b)-B'(\nabla a)=-B' (\nabla a)$

$\operatorname{rot}[\vec a, \operatorname{rot} \vec b] = a'(\nabla \operatorname{rot} b)-\operatorname{rot}b \operatorname{div} a -(\operatorname{rot}b)' (\nabla a)$

Оказывается, вот такой ответ будет. Спасибо!

$\operatorname{rot}[\vec a, \operatorname{rot} \vec b] = (\operatorname{rot} b \nabla ) a - \operatorname{rot}b \operatorname{div} a - ( a \nabla)\operatorname{rot}b$

Спасибо!

[Legioner93]

kis в сообщении #913443 писал(а):

$\operatorname{rot}[\vec a, \operatorname{rot} \vec b] = (\operatorname{rot} b \nabla ) a - \operatorname{rot}b \operatorname{div} a - ( a \nabla)\operatorname{rot}b$

Спасибо!

Я особо в этом не смыслю, но почему ответом считается выражение справа, а не слева? Левое же в 10 раз короче и приятнее. Или они чем-то принципиально отличаются? Расскажите, пожалуйста!