Система уравнений. Походу пошел не тем путем.

[melnikoff]

$\begin{cases} x^{\log_2{y}}=3\\ xy=6 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} \log_x{3}=\log_2{y}\\ xy=6 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} \log_x{3}=\log_2{\frac{6}{x}}\\ y=\frac{6}{x} \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} \frac{\log_2{3}}{\log_2{x}}=\log_2{6}-\log_2{x}\\ y=\frac{6}{x} \end{cases} $
Решаем первое уравнение системы:
Замена: $t=\log_2{x}.$
$\frac{\log_2{3}}{t}=\log_2{6}-t \Leftrightarrow$ $t^2-\log{6}t+\log_2{3}=0 \Leftrightarrow$ $\bmatrix{} t=1\\ t=\log_2{3} \end{.} \Leftrightarrow$ $ \bmatrix{} \log_2{x}=1\\ \log_2{x}=\log_2{3} \end{.} \Leftrightarrow$ $ \bmatrix{} x=2\\ x=3 \end{.}.$
$y_1=\frac{6}{x_1}=3$;
$y_2=\frac{6}{x_2}=2$.
Ответ: $(2;3) \cup (3;2).$

Правильно?

[Aritaborian]

Подбором разрешается? Угадать просто. (Потом, правда, нужно ещё доказать, что других решений нет...)

[Brukvalub]

Полученное квадратное уравнение тривиально "решается" с помощью дедушки Виета.

[upgrade]

$x=3^{\frac{1}{\log_2y}}$

$3^{\frac{1}{\log_2y}}y=6$

$\log_2y=t$

$y=2^t$

$6=2^1\cdot3^1$

[melnikoff]

Aritaborian, а как доказать, что других решений нет?

[Shadow]

Brukvalub в сообщении #911550 писал(а):

Полученное квадратное уравнение тривиально "решается" с помощью дедушки Виета.

А если прологарифмовать обе уравнения по основанию 2 и уравнения не надо