Теорема из теории рядов. Доказать теорему.

[KattyAlex]

Пусть $\sum_{n=1}^{\infty}u_{n}$ положительный расходящийся ряд, где последовательность $u_{n} $ограничена, а $f(x)$ положительная возрастающая непрерывная функция, где $f(x)\uparrow\infty$ при $x\to\infty$. $s_{n}=u_{1}+u_{2}+\ldots$ --- сумма первых $n$ членов ряда $\sum_{n=1}^{\infty}u_{n}$. Тогда ряды $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{f(n)}$ и $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{u_{n}}{f(s_{n})}$ сходятся ( или расходятся) одновременно.

Необходимо доказать в аналитическом виде. Сама теорема взята из учебника Бари стр.904. Там приведено геометрическое доказательство, оно мне вроде бы понятно..
Думала доказать через первообразную..по признаку Коши-Маклорена..

Подскажите пожалуйста, как доказать?

[sup]

Можно доказать, используя интегральный признак сравнения.
Пусть
$F(y) = \int \limits_1^y \frac {1}{f(x)}dx$
По признаку сравнения, вы можете связать эту функцию с рядом
$\sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac {1}{f(n)}$
С другой стороны $F(s_{n+1}) - F(s_{n})$ расписывается через производную в промежуточной точке. Эту разность можно связать со вторым рядом. Здесь Вам снова понадобится монотонность $f(x)$ и сходимость ряда
$\sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac {u_{n+1}-u_n}{f(s_{n})}$
Кстати, а почему этот ряд сходится?