Обоснование численных методов

[cool.phenon]

Заинтересовался строгим теоретическим обоснованием метода конечных разностей для краевых задач, начал с согласованности, но после 3 источников (Гавурин, Рябенький,Leveque) заметил, что согласованность доказывают в общем случае, как правило, для очень гладких (от 4 порядка гладкости для уравнений 2 порядка) решений. Тогда сразу возникает вопрос: как тогда можно пользоваться моделированием негладких ( если это заранее известно, или не совсем гладких) решений, когда формально доказательства не работают? Либо же существуют какие-то другие методы обоснования? Замечу: здесь мы пока не говорим об обобщенных решениях, для них отдельная теория есть, но часто, пользуясь методами решения классически поставленных задач, в литературе по методам решают задачи с негладкими (или даже разрывными) начальными условиями.

[мат-ламер]

cool.phenon в сообщении #908625 писал(а):

Тогда сразу возникает вопрос: как тогда можно пользоваться моделированием негладких ( если это заранее известно, или не совсем гладких) решений, когда формально доказательства не работают?

А место, где проходит излом, заранее неизвестно?

-- Ср сен 17, 2014 22:05:55 --

Для таких задач особые методы разрабатывают.

[cool.phenon]

Известно. Например, возьмём задачу Коши для уравнения переноса:

$$\frac{\partial u}{\partial t}+a\frac{\partial u}{\partial x}=0; \quad u(x,0)=u_0(x) $$

Здесь можно за $u_0(x)$ взять, например, индикатор отрезка $[0;1]$. Доказательство у Рябенького работает только для $u$, гладких минимум дважды, но я неоднократно видел, как численно здесь решают, вводя обычную разностную схему. И, как ни странно, но метод работает, результат верен, но обоснование тогда здесь не годится.

[мат-ламер]

cool.phenon в сообщении #908963 писал(а):

И, как ни странно, но метод работает, результат верен, но обоснование тогда здесь не годится.

Вблизи негладкости будет наблюдаться потеря точности и по хорошему методы надо модернизировать. (С разностными схемами я не сталкивался, только с МКЭ.)

[vicvolf]

cool.phenon в сообщении #908625 писал(а):

Заинтересовался строгим теоретическим обоснованием метода конечных разностей для краевых задач, начал с согласованности, но после 3 источников (Гавурин, Рябенький,Leveque) заметил, что согласованность доказывают в общем случае, как правило, для очень гладких (от 4 порядка гладкости для уравнений 2 порядка) решений. Тогда сразу возникает вопрос: как тогда можно пользоваться моделированием негладких ( если это заранее известно, или не совсем гладких) решений, когда формально доказательства не работают? Либо же существуют какие-то другие методы обоснования? Замечу: здесь мы пока не говорим об обобщенных решениях, для них отдельная теория есть, но часто, пользуясь методами решения классически поставленных задач, в литературе по методам решают задачи с негладкими (или даже разрывными) начальными условиями.

Это очень интересный вопрос. Посмотрите здесь topic80156-210.html стр. 15

[cool.phenon]

vicvolf
Честно говоря, из той дискуссии понял, что моя проблема актуальна, но конкретных методов решения не заметил. Можно доказывать согласованность в предположении ограниченности всех производных (которая следовала бы из гладкости), но тогда возникает другой вопрос: допустим, мы каким-то образом получили явную формулу решения краевой задачи, и подставляем туда наши данные (краевые, начальные условия, правую часть $f$), которые не являются гладкими. Например, как в задаче Коши выше, формула решения известна

$$u(x)=u_0(x-at) $$

Тогда непонятно, что такое производная разрывной функции. Формально можно её взять только там, где функция гладкая, а вот точки разрыва портят всю картину. Короче говоря, без привлечения обобщённых решений (когда никто не гарантирует, что производные будут регулярными обобщёнными функциями) здесь нельзя, но тогда абсурдно говорить об ограниченных производных на привычном для задачи языке. Вот здесь у меня ступор.

[hurtsy]

мат-ламер в сообщении #908967 писал(а):

Вблизи негладкости будет наблюдаться потеря точности и по хорошему методы надо модернизировать.

В точках разрыва решений моделирование ДУ тоже приближенное, значит ДУ тоже нуждается в модернизации? С уважением,

[Munin]

Ну, по-хорошему - нуждается. Например, в ударных волнах ДУ могут заменять на уравнения кинетики (интегродифференциальные).

[cool.phenon]

Пока что сделал для себя такой вывод: согласованность в самом общем случае основывается на разложении в ряд Тейлора членов разностной схемы, что уже подразумевает достаточную гладкость, поэтому и работать будет только с достаточно гладкими решениями, но почему разностные схемы иногда работают для обобщённых решений -- вопрос остаётся открытым.

[Vince Diesel]

Ну, если разрыв в одном месте, то и решение портится там же. А в остальных местах гладкое.

[cool.phenon]

Vince Diesel

То есть, если мы образно "обходим" разрыв сеткой, то нет никаких запретов для обоснования решения как гладкого?

[Vince Diesel]

Наверно, от конкретного уравнения зависит. Но для эллиптических и параболических уравнений (с гладкими коэффициентаим) это верно, а для гиперболических разрывы и прочие негладкости распространяются вдоль характеристик. Корректность задачи еще, вероятно, нужна, чтобы маленькие погрешности на разрыве не приводили к большим отклонениям вдали.