Найти сумму

[KiberMath]

$sin(\alpha)+sin(2\cdot\alpha)+sin(3\cdot\alpha)+...+sin(n\cdot\alpha) = ...$

$cos(\alpha)+cos(2\cdot\alpha)+cos(3\cdot\alpha)+...+cos(n\cdot\alpha) = ...$

Пока без идей, как это решить...

[V.V.]

Умножьте первое равенство на $i=\sqrt{-1}$, сложите со вторым и просуммируйте геометрическую прогрессию. Потом возьмите от ответа действительную и мнимую части.

[KiberMath]

Я так понимаю, что если я умножу первое равенство на i, и сложу со вторым, то у меня получаеться вот такая вот сумма
$z + z^2 + z^3 + ... + z^n$
Где $z = cos(\alpha) +i\cdot sin(\alpha)$
Тогда
$z + z^2 + z^3 + ... + z^n = \frac{1-z^n}{1-z}$

Тут ошибки нет? а то у меня что-то не сходиться с ответом...

[PAV]

Правую часть нужно еще на $z$ умножить

[KiberMath]

PAV
Да, точно спасибо

[venja]

V.V. писал(а):

Умножьте первое равенство на $i=\sqrt{-1}$, сложите со вторым и просуммируйте геометрическую прогрессию. Потом возьмите от ответа действительную и мнимую части.

Красиво!

[KiberMath]

А можно как-нибудь решить эту задачу не используя комплексные числа?

[TOTAL]

$S=sin(\alpha)+sin(2\cdot\alpha)+sin(3\cdot\alpha)+...+sin(n\cdot\alpha)$
$C=cos(\alpha)+cos(2\cdot\alpha)+cos(3\cdot\alpha)+...+cos(n\cdot\alpha)$

$S+sin((n+1)\cdot\alpha)=S*cos(\alpha)+C*sin(\alpha)+sin(\alpha)$
$C+cos((n+1)\cdot\alpha)=C*cos(\alpha)-S*sin(\alpha)+cos(\alpha)$

[Gordmit]

KiberMath писал(а):

А можно как-нибудь решить эту задачу не используя комплексные числа?

Умножьте и разделите эту сумму синусов на $\sin\frac{x}{2}$, и затем слагаемые вида $\sin\frac{x}{2}\sin kx$ преобразуйте в сумму по формуле $\sin x\sin y = \frac12\bigl(\cos(x-y)-\cos(x+y)\bigr)$. Аналогично можно поступить и с суммой косинусов.

[Simeon]

KiberMath писал(а):

$sin(\alpha)+sin(2\cdot\alpha)+sin(3\cdot\alpha)+...+sin(n\cdot\alpha) = ...$

$cos(\alpha)+cos(2\cdot\alpha)+cos(3\cdot\alpha)+...+cos(n\cdot\alpha) = ...$

Пока без идей, как это решить...

[/img]

Могу предложить готовые формулы...
$sin(\alpha)+sin(2\cdot\alpha)+sin(3\cdot\alpha)+...+sin(n\cdot\alpha) = (cos(\alpha/2)-cos((n+1/2)\cdot\alpha))/(2\cdot\sin\alpha/2) $

$cos(\alpha)+cos(2\cdot\alpha)+cos(3\cdot\alpha)+...+cos(n\cdot\alpha) = (-sin(\alpha/2)+sin((n+1/2)\cdot\alpha))/(2\cdot\sin\alpha/2) $

Как то так...

Добавлено спустя 10 минут 26 секунд:

$sin(\alpha+\beta)+sin(4\cdot\alpha+2\cdot\beta)+sin(9\cdot\alpha+3\cdot\beta)+...+sin(n^2\cdot\alpha+n\cdot\beta) = ...$

$cos(\alpha+\beta)+cos(4\cdot\alpha+2\cdot\beta)+cos(9\cdot\alpha+3\cdot\beta)+...+cos(n^2\cdot\alpha+n\cdot\beta) = ...$

Быть может кто подскажет красивую флрмулку???
...Вроде той что была отмечена выше...

[RIP]

Simeon писал(а):

$sin(\alpha+\beta)+sin(4\cdot\alpha+2\cdot\beta)+sin(9\cdot\alpha+3\cdot\beta)+...+sin(n^2\cdot\alpha+n\cdot\beta) = ...$

$cos(\alpha+\beta)+cos(4\cdot\alpha+2\cdot\beta)+cos(9\cdot\alpha+3\cdot\beta)+...+cos(n^2\cdot\alpha+n\cdot\beta) = ...$

Быть может кто подскажет красивую флрмулку???

Такие формулы неизвестны.

[Simeon]

RIP писал(а):

Simeon писал(а):

$sin(\alpha+\beta)+sin(4\cdot\alpha+2\cdot\beta)+sin(9\cdot\alpha+3\cdot\beta)+...+sin(n^2\cdot\alpha+n\cdot\beta) = ...$

$cos(\alpha+\beta)+cos(4\cdot\alpha+2\cdot\beta)+cos(9\cdot\alpha+3\cdot\beta)+...+cos(n^2\cdot\alpha+n\cdot\beta) = ...$

Быть может кто подскажет красивую флрмулку???

Такие формулы неизвестны.

Не хотелось бы настаивать, но все же... хотя бы какой нить вариант преобразования ("приближения") что-ли, а то очень уж громоздко.

[незваный гость]

Вряд ли. Очень бы хотелось. Сразу бы положил $\beta = 0$, $\alpha = x^2/n^2$ и перешёл бы к пределу. Получил бы $\int_{0}^{x} e^{y^2} {d y}$. Но он не берётся…

[Simeon]

Значит только один выход, оставить все как есть???

[незваный гость]

Да. А что?