Моменты и закон распределения

[Boffin]

zhoraster в сообщении #655427 писал(а):

Евгений Машеров в сообщении #655414 писал(а):

И для описания распределения нужно знать все его моменты.

В очень запущенных случаях и этого не достаточно.

Если я правильно понимаю, зная все моменты (бесконечное количество) можно восстановить закон распределения. Зная только часть моментов можно восстановить закон распределения лишь приближенно. Например, на основе первых двух моментов (матожидания и дисперсии) используя неравенство Чебышева можно приблизительно восстановить закон распределения.
Вопрос, в какой литературе можно найти формулы связи функции плотности распределения от моментов.

[ИСН]

Разложение Грама-Шарлье же.

[prof.uskov]

У меня близкий вопрос.
Неравенство Чебышева даёт оценку вероятности, что случайная величина примет значение, отличное от своего среднего, на основе математического ожидания и дисперсии. А если известны моменты более высокого порядка: асимметрия, эксцесс и т.п., то неравенство Чебышева может быть уточнено. Мне известно только уточнение неравенства Чебышева на случай, когда функция распределения симметрична. В пределе, если известны все моменты (бесконечное количество), можно точно определить функцию распределения и обобщение неравенства Чебышева переходит в равенство. Подскажите литературу с описанием обобщения неравенства Чебышева на случай, если известно произвольное число моментов.

[upgrade]

prof.uskov в сообщении #910546 писал(а):

В пределе, если известны все моменты (бесконечное количество), можно точно определить функцию распределения и обобщение неравенства Чебышева переходит в равенство.

что значит "известны"?
матожидание (первый начальный момент) - это интеграл Лебега, если он известен ...тут и литературы не надо, конечно можно определить распределение по матожиданию.

[--mS--]

(Оффтоп)

upgrade в сообщении #910584 писал(а):

матожидание (первый начальный момент) - это интеграл Лебега, если он известен ...тут и литературы не надо, конечно можно определить распределение по матожиданию.

Матожидание равно 7. Определите распределение, пожалуйста.

prof.uskov,

$$\mathsp P(\xi \geqslant x)\leqslant\dfrac{\mathsf Ee^{\lambda\xi}}{e^{\lambda x}}.$$

[_hum_]

Boffin в сообщении #910423 писал(а):

Если я правильно понимаю, зная все моменты (бесконечное количество) можно восстановить закон распределения.

Нет. Не всегда. Это так называемая "проблема моментов".

[upgrade]

(Оффтоп)

--mS-- в сообщении #910586 писал(а):

Матожидание равно 7. Определите распределение, пожалуйста.

я имею ввиду подинтегральное выражение, а не значение матожидания.

[Lia]

upgrade в сообщении #910584 писал(а):

матожидание (первый начальный момент) - это интеграл Лебега, если он известен ...тут и литературы не надо, конечно можно определить распределение по матожиданию.

Конечно, нельзя.

[prof.uskov]

--mS-- в сообщении #910586 писал(а):

prof.uskov,

$$\mathsp P(\xi \geqslant x)\leqslant\dfrac{\mathsf Ee^{\lambda\xi}}{e^{\lambda x}}.$$

Простите, не понял, что это?

Уточню вопрос, и так, нам известны матожидание и дисперсия СВ, используя неравенство Чебышева мы можем оценить вероятности, что СВ примет то или иное значение. Предположим далее, что нам стала известна еще и асимметрия распределения, как на основе этой информации улучшить нашу оценку? Аналогично далее, как улучшить оценку после того, как стал известен еще и эксцесс и т.д.

[_hum_]

prof.uskov

$$\mathsp P(|\xi| \geqslant C)\leqslant \min_i \dfrac{\mathsf E|\xi|^i }{C^i}.$$

[upgrade]

Lia в сообщении #910607 писал(а):

Конечно, нельзя

ок, нельзя

[Otta]

prof.uskov в сообщении #910619 писал(а):

Простите, не понял, что это?

Один из вариантов обобщенного неравенства Чебышева.
Если этот вариант Вам не нравится, то легко состряпать любой подходящий по вкусу, пользуясь основной записью неравенства.

[prof.uskov]

Otta в сообщении #910709 писал(а):

prof.uskov в сообщении #910619 писал(а):

Простите, не понял, что это?

Один из вариантов обобщенного неравенства Чебышева.
Если этот вариант Вам не нравится, то легко состряпать любой подходящий по вкусу, пользуясь основной записью неравенства.

Да, обобщённое неравенство Чебышёва... сейчас нашел в Интеренете. В моих книгах по ТВ этого нет, там только вариант с матожиданием и дисперсией.
Думал, я знаю теорию вероятностей.

[--mS--]

prof.uskov в сообщении #910751 писал(а):

В моих книгах по ТВ этого нет, там только вариант с матожиданием и дисперсией.

Возьмите нормальные книги по ТВ.

-- Вт сен 23, 2014 09:52:54 --

prof.uskov в сообщении #910619 писал(а):

Простите, не понял, что это?

Вы изначально спрашивали о неравенстве, которое переходит в равенство, если известны все моменты. Я предположила, что даже условие Крамера выполнено (существование экспоненциального момента), потому как без этого никакого равенства быть не может. И привела Вам ровно то неравенство, которое имеет шанс обратиться в равенство. Почитайте про большие уклонения, например, в учебнике А.А.Боровкова "ТВ" (1986, параграф 8 гл.6, стр.292).

[upgrade]

для случайной величины, принимающей два значения вы имеете ввиду решение системы уравнений?
$ \begin{cases} x_1p_1+x_2p_2=M(X)$\\ x_1^2p_1+x_2^2p_2=v_2$\\ x_1^3p_1+x_2^3p_2=v_3$\\ ...$\\ x_1^np_1+x_2^np_2=v_n$\\ (x_1-(x_1p_1+x_2p_2))^2p_1+(x_2-(x_1p_1+x_2p_2))^2p_2=D(X)$\\ ...$\\ (x_1-(x_1p_1+x_2p_2))^np_1+(x_2-(x_1p_1+x_2p_2))^np_2=\mu_n$\\ \end{cases} $