«среднее» плотности взаимно простых чисел

[незваный гость]

Задача старая, но (мне кажется), любопытная:
Вычислить $\lim\limits_{N \to \infty} \frac{1}{N}\sum\limits_{n=1}^{N}\frac{\varphi(n)}{n}$. То есть, доказать, что существует «среднее» плотности взаимно простых чисел, и найти его.

[ИСН]

(Почти наобум)
Опять $6\over\pi^2$, что ли?

[RIP]

Гораздо интереснее доказать, что существует $\lim\limits_{N\to\infty}\frac1{\ln N}\sum_{n=1}^N\frac1{\varphi(n)}$ и, конечно, найти его (если я правильно помню, он вычисляется).

[Руст]

Нет. Здесь среднее плотности взаимно простых, оно отлично от отношения всех взаимно простых к количеству всех пар.
Для вычисления предела надо применить суммирование Абеля, вычисляя предварительно частичные суммы функций Эйлера. В принципе это несложно, но меня не очень увлекает.

[RIP]

Руст
Мне кажется, что это Вы путаете. Этот предел равен $\frac6{\pi^2}$ (и вычисляется в уме).

[Руст]

Мне кажется в два раза меньше. Частичная сумма значений функций Эйлера ведёт себя как этот коэффициент на n^2/2 (общее количество пар) Дифференциал от 1/n -1/n^2, соответственно коэффициент 1/2 останется множителем, т.е $\frac{3}{\pi ^2}.$

[RIP]

Всё гораздо проще. Записываем $\frac{\varphi(n)}n=\sum\limits_{d|n}\frac{\mu(d)}d$ и меняем порядок суммирования.

Добавлено спустя 2 часа 7 минут 3 секунды:

RIP писал(а):

Гораздо интереснее доказать, что существует $\lim\limits_{N\to\infty}\frac1{\ln N}\sum_{n=1}^N\frac1{\varphi(n)}$ и, конечно, найти его (если я правильно помню, он вычисляется).

И правда считается. Докажите, что

$$\lim_{N\to\infty}\frac1{\ln N}\sum_{n=1}^N\frac1{\varphi(n)}=\frac{315\zeta(3)}{2\pi^4}$$

[RIP]

Ещё одна задача на суммирование функций Эйлера. Доказать, чё для любого комплексного $s$ с $\mathop{\mathrm{Re}}(s)>1$ существует предел

$$\lim_{N\to\infty}N^{s-1}\sum_{n=N+1}^\infty\varphi(n)^{-s}$$

(например, для $s=2$ он равен

$$\prod_p\left(1+\sum_{k=2}^\infty\frac k{p^k}\right)$$

. Интересно, это можно вычислить в "замкнутой" форме?)

[Gordmit]

Что-то у меня получается, что этот предел равен

$$\frac{c_0}{s-1}$$

, где

$$c_0=\frac{315\zeta(3)}{2\pi^4}$$

... Наверное, это неправильно, но не могу понять, в чем дело: пользуемся тем, что

$$\sum_{n>N}\varphi(n)^{-s}=\sum_{n>N}\frac{r(n)}{n^s}$$

, где $r(n)$ - количество значений $m$ таких, что $\varphi(m)=n$, а затем вспоминаем из книжки Карацубы, что

$$\sum_{n\leqslant t}r(n)=c_0y+O\left(\frac{y}{\ln y}\right)$$

. Остается воспользоваться преобразованием Абеля в интегральной форме.

[RIP]

Gordmit писал(а):

...пользуемся тем, что

$$\sum_{n>N}\varphi(n)^{-s}=\sum_{n>N}\frac{r(n)}{n^s}$$

, где $r(n)$ - количество значений $m$ таких, что $\varphi(m)=n$,...

Что-то эта формула у меня вызывает сомнения.
Кстати, эта задача (и предыдущая) легко решается элементарно, без применения контурных интегралов.

[Gordmit]

Гм, теперь у меня эта формула тоже вызывает сомнения.
Вероятно, ее нужно заменить на

$$\sum_{n>N}\varphi(n)^{-s}=\sum_{n:\varphi(n)>N}\frac{r(n)}{n^s}$$

Но тогда остальное не проходит...

[RIP]

Gordmit писал(а):

Гм, теперь у меня эта формула тоже вызывает сомнения.
Вероятно, ее нужно заменить на

$$\sum_{n>N}\varphi(n)^{-s}=\sum_{n:\varphi(n)>N}\frac{r(n)}{n^s}$$

И эта формула у меня вызывает сомнения.