Особые точки аналитической функции

[Echo-Off]

Вот такая задача по комплексному анализу: (Евграфов, 24.06, пункт 7)

Функция $w = \sqrt{z\arctg z}$ аналитическая в $\mathbb{\bar{C}}$ без конечного числа исключительных точек. Определить число и характер особых точек, расположенных над этими исключительными точками.

Как я понимаю, исключительные точки - 0, $\pm i$ и $\infty$. Но как определить число особых точек и их характер?

[Brukvalub]

Все определения особых точек не дескриптивные, а эффективно проверяемые, поэтому нужно проверить, какое из них для какой точки справедливо, вот и все.

[Echo-Off]

С этой проверкой и проблемы.

Сначала, наверное, надо представить $\arctg z = \frac 1{2i} \ln\frac{1+iz}{1-iz}$. Далее возьмём точку $i$, вокруг этой точки делаем один оборот. С функцией $z$ ничего особенного не происходит, а $\frac{1+iz}{1-iz}$ сделает вокруг нуля один оборот. Значит, $z\arctg z$ имеет одну логарифмическую точку в $z=i$, а $\sqrt{z\arctg z}$ - две логарифмические точки.

В точке $z=-i$ тоже вроде как получается 2 логарифмические точки. Непонятно, что будет в точке $z=0$: если сделать один оборот вокруг нуля, то сколько оборотов вокруг нуля сделает $\ln\frac{1+iz}{1-iz}$ ? И с $z=\infty$ та же проблема.

[Brukvalub]

Echo-Off писал(а):

Непонятно, что будет в точке $z=0$: если сделать один оборот вокруг нуля, то сколько оборотов вокруг нуля сделает $\ln\frac{1+iz}{1-iz}$ ?

Изучайте лучше сразу произведение

\[ z \cdot arctg\,z \]

- возьмите маленькую окружность

\[ z = re^{i\varphi } \]

и меняйте

\[ \varphi ,\;0 \le \varphi \le 2\pi \]