Дифф. уравнение

[SlayZar]

Требуется найти общий интеграл дифф. уравнения
$(x^2+2xy-y^2)dx+(y^2+2xy-x^2)dy=0$
Сначала проверяем, является ли это уравнение уравнением в полных дифференциалах.
$M(x;y)=x^2+2xy-y^2$
$\frac{dM}{dy}=-2y+2x$
$N(x;y)=y^2+2xy-x^2$
$\frac{dN}{dx}=2y-2x$
Имеем ли мы право теперь вынести минус из второго уравнения, чтобы условие $\frac{dM}{dy}=\frac{dN}{dx}$ выполнялось?
Если да, то мы можем получить уравнение в полных дифференциалах: $(x^2+2xy-y^2)dx-(-y^2-2xy+x^2)dy=0$
Тогда $u(x;y) = \int(x^2+2xy-y^2)dx = \frac{x^3}{3}+2y\frac{x^2}{2}+ C_0(y)$

$\frac{d}{dy}(\frac{x^3}{3}+2y\frac{x^2}{2}+C_0(y))=-y^2-2xy+x^2$

$x^2+c_0`(y)=-y^2-2xy+x^2$
$c_0`(y)=-y^2-2xy$

Но теперь нам мешает $xy$ и не получается найти $C_0(y)$. Помогите, пожалуйста. Правен ли ход решения и как быть дальше?

[Otta]

SlayZar в сообщении #909918 писал(а):

Имеем ли мы право теперь вынести минус из второго уравнения,

Не имеем. Равно это равно.

[SlayZar]

Otta в сообщении #909922 писал(а):

SlayZar в сообщении #909918 писал(а):

Имеем ли мы право теперь вынести минус из второго уравнения,

Не имеем. Равно это равно.

То есть это не уравнение в полных дифференциалах и надо решать как-то по-другому?

[Oleg Zubelevich]

$z=y/x$

[SlayZar]

Oleg Zubelevich в сообщении #909925 писал(а):

$z=y/x$

то есть надо поделить на $x^2$, тогда получаем:
$(1+2\frac{y}{x}-(\frac{y}{x})^2)dx+((\frac{y}{x})^2+2\frac{y}{x}-1)dy=0$

$z=y/x$

$(1+2z-z^2)dx+((z^2+2z-1)dy=0$ Это верно?

-- 20.09.2014, 20:58 --

Только тогда не $dx$ , $dy$, а $dx/dz$ и $dy/dz$?

[Otta]

SlayZar в сообщении #909928 писал(а):

$(1+2z-z^2)dx+((z^2+2z-1)dy=0$ Это верно?

Это верно, только что тут делают три переменные? Заменять так заменять.

SlayZar в сообщении #909928 писал(а):

Только тогда не $dx$ , $dy$, а $dx/dz$ и $dy/dz$?

А это бред.

[SlayZar]

Тогда так:
$y=zx$
$dy=xdz$
$dy=\frac{y}{z}dz$
Но все равно $y$ остаётся. Надо пытаться как-то так выразить, чтоб остался только $z$? или как-то по-другому делать?

[Otta]

SlayZar в сообщении #909937 писал(а):

$dy=xdz$

Сперва правильно посчитайте.

[SlayZar]

$dz=-\frac{y}{x^2}dx+\frac{1}{x}dy$

$dz=-\frac{z}{x}dx+\frac{1}{x}dy$

Это вроде бы верно, но дальше не выражается...

[Otta]

Что Вы выражать хотите? Что через что?

[SlayZar]

Otta в сообщении #909947 писал(а):

Что Вы выражать хотите? Что через что?

Ну нам ведь надо выразить $dx$ через $dz$ и $dy$ через $dz$

[Otta]

Радикальненько. А какую функцию по какой переменной дифференцировать будете? Или ну ее нафиг, эту функцию?

[SlayZar]

Otta в сообщении #909951 писал(а):

Радикальненько. А какую функцию по какой переменной дифференцировать будете? Или ну ее нафиг, эту функцию?

Ну почему нафиг? Я же уже дифференциировал $z$ по иксу и игреку, когда получал дифференциал.

SlayZar в сообщении #909944 писал(а):

$dz=-\frac{y}{x^2}dx+\frac{1}{x}dy$

[Otta]

Потому что если Вы выразите

SlayZar в сообщении #909948 писал(а):

$dx$ через $dz$ и $dy$ через $dz$

то что же останется в уравнении?

[SlayZar]

Otta в сообщении #909956 писал(а):

Потому что если Вы выразите

SlayZar в сообщении #909948 писал(а):

$dx$ через $dz$ и $dy$ через $dz$

то что же останется в уравнении?

Ну да, останутся $y$ и $x$, что тоже нехорошо. То есть тогда нам надо выразить $dx$ и $dy$?

-- 20.09.2014, 22:04 --

$y_x`=\frac{dy}{dx}=z$
Возможно эта производная поможет, но что-то всё равно не получается пока...