Индукция

[Twidobik]

В главе задачника про индукцию имеется задание: число $x$ таково, что число $x + \frac{1}{x}$ - целое. Нужно доказать, что при любом натуральном $n$ число ${x^n} + \frac{1}{{{x^n}}}$ также является целым.
Пожалуйста, подскажите, как доказать, задание простое, но подступиться не получается. После ${x^{k + 1}} + \frac{1}{{{x^{k + 1}}}}$ что делать, не знаю, а попытка ${\left( {x + \frac{1}{x}} \right)^n}$ еще хуже.

[Nemiroff]

Умножьте ${x^n} + \frac{1}{{{x^n}}}$ на $x + \frac{1}{x}$ что ли.

[Twidobik]

Правильно ли я понимаю, что получается так:

при $n = 1$ число ${x^n} + \frac{1}{{{x^n}}}$ - целое

Пусть ${x^n} + \frac{1}{{{x^n}}}$ тоже целое, докажем, что ${x^{n + 1}} + \frac{1}{{{x^{n + 1}}}}$ - целое

$\left( {{x^n} + \frac{1}{{{x^n}}}} \right)\left( {x + \frac{1}{x}} \right) = {x^{n + 1}} + \frac{1}{{{x^{n + 1}}}} + {x^{n - 1}} + \frac{1}{{{x^{n - 1}}}}$

Слева стоит произведение двух целых чисел, значит, справа тоже. Мне кажется, хотя, может это и не так, что раз мы условились, что ${{x^n} + \frac{1}{{{x^n}}}}$ целое, то и ${x^{n - 1}} + \frac{1}{{{x^{n - 1}}}}$ должно быть целым. Но ведь отсюда не следует, что и ${x^{n + 1}} + \frac{1}{{{x^{n + 1}}}}$ целое?

[Nemiroff]

Twidobik в сообщении #909597 писал(а):

Но ведь отсюда не следует, что и ${x^{n + 1}} + \frac{1}{{{x^{n + 1}}}}$ целое?

А почему?

[Twidobik]

Да, следует Спасибо!!