Кинематический винт. Векторы в физике.

[tech]

Здравствуйте. Немного не понимаю, как воспринимать понятие "вектор" в механике.
Сразу пример:

(Оффтоп)

$O_aXYZ$ - абсолютная система координат; $O$ - полюс твёрдого тела; $OXYZ$ - с. к., получающаяся из с. к. $O_aXYZ$ при помощи поступательного перемещения; $Oxyz$ - жёстко связанная с телом с. к.
Далее найдём прямую в теле, все точки которой в данный момент времени имеют скорости, направленные вдоль этой прямой и параллельные $\vec{\omega}$
Пусть в теле выбран полюс $O$, скорость его в данный момент равна $\vec{v_O}$, угловая скорость тела равна $\vec{\omega}$. Пусть они заданы своими компонентами в с. к. $OXYZ$:
$\vec{v_O}=(v_{OX} \ v_{OY}\ v_{OZ})^T;\ \vec{\omega}=(\omega_{X} \ \omega_{Y}\ \omega_{Z})^T$

Если скорость точки $S$ тела отлична от нуля и параллельна $\omega$, то
$\vec v_O+\vec\omega\times \vec r=p \vec\omega$, где $\ \vec{r}=(X \ Y\ Z)^T (*)$ - радиус-вектор точки $S$.

Решая, получаем $OXYZ$: $p=\frac{v_{OX}+(\omega_Y Z-\omega_ZY)}{\omega_X}=...$. Это уравнение прямой в с. к. $OXYZ$.

Однако все записанные выше векторы имеют те же самые координаты в системе $O_aXYZ$, значит, в с. к. $O_aXYZ$ имеем то же самое векторное уравнение $\vec v_O+\vec\omega\times \vec r=p \vec\omega$, где $\ \vec{r}=(X \ Y\ Z)^T$.

Решая, получаем то же самое уравнение прямой, но уже в системе $O_aXYZ$. Получились геометрически разные прямые.

Полагаю, в формуле $(*)$ под вектором $\vec{r}$ должен пониматься именно вектор $\vec{OS}$, который "прибит" к точке $O$ и координаты которого мы и находим. Но почему? Ведь формула $(*)$ для скорости произвольной точки тела не содержит никакого геометрического смысла, там $\vec{r}$ - это просто набор из трёх чисел.

[Munin]

tech в сообщении #909396 писал(а):

Решая, получаем то же самое уравнение прямой, но уже в системе $O_aXYZ$. Получились геометрически разные прямые.

Логично. Мгновенная ось вращения зависит от системы отсчёта (а они у вас отличаются на скорость $\vec{v}_O$).

[Oleg Zubelevich]

Теорема. Если угловая скорость твердого тела не равна нулю, то в каждый момент времени существует и при том единственная прямая такая, что скорости точек тела ,лежащих на этой прямой, ей параллельны.

Набросок доказательства. Зафиксируем в теле точку $A$. Предположим ,что искомая прямая параллельна вектору $\overline\omega$ и состоит из точек $F$ твердого тела:

$$\overline v_F=\overline v_A+[\overline\omega,\overline{AF}]=\lambda\overline\omega $$

Откуда домножая скалярно левую и правую часть последнего равенства на угнловую скорость находим $\lambda=(\overline v_A,\overline\omega)/|\overline\omega|^2$
Теперь множество точек $F$ находится из уравнения

$$\overline v_A+[\overline\omega,\overline{AF}]=\lambda\overline\omega$$

.
Переходить к координатам , разумеется не нужно.

[tech]

Oleg Zubelevich в сообщении #909422 писал(а):

$$\overline v_F=\overline v_A+[\overline\omega,\overline{AF}]=\lambda\overline\omega $$

Да, но вопрос был вот в чём:
В этой формуле каждый вектор – это просто набор из трёх чисел, так? Значит, вместо, вектора $\overline{AF}$ я могу взять произвольный ему коллинеарный вектор $\overline{OF_O}$. Ну и получу множество точек $F_O$, не совпадающее с множеством точек $F$. Как так?

[Munin]

tech в сообщении #909488 писал(а):

В этой формуле каждый вектор – это просто набор из трёх чисел, так?

Нет, разумеется. Вектор - это вообще не набор из трёх чисел (кроме векторов в $\mathbb{R}^3$), а только сопоставляется набору из трёх чисел, если ещё указан и способ сопоставления.

[tech]

Ага, то есть на радиус-вектор здесь нужно смотреть как на что-то, что существует вне зависимости от того, выбрана ли система координат (достаточно лишь выбрать точку в пространстве, которая будет началом радиус-вектора); с. к. и ОНБ – просто удобный способ задать вектор.
А как воспринимать вектор скорости или вектор угловой скорости? К примеру, у Маркеева последний вводится чисто формально как вектор с координатами, берущимися из матрицы $\dot{A}A^{-1}$, где $A$ - матрица перехода от одного ОНБ к другому.
И ещё: формула Эйлера $\dot{\overline{r}}=\omega\times \overline{r}$ верна ведь не только, когда $|\overline{r}(t)|\equiv\operatorname{const}$, а вообще при произвольном изменении $\overline{r}$?

[Oleg Zubelevich]

tech в сообщении #909488 писал(а):

В этой формуле каждый вектор – это просто набор из трёх чисел, так? Значит, вместо, вектора $\overline{AF}$ я могу взять произвольный ему коллинеарный вектор $\overline{OF_O}$. Ну и получу множество точек $F_O$, не совпадающее с множеством точек $F$. Как так?

у Вас непонимание не механики, а линейной алгебры post749221.html#p749221

-- Пт сен 19, 2014 21:04:10 --

tech в сообщении #909561 писал(а):

И ещё: формула Эйлера $\dot{\overline{r}}=\omega\times \overline{r}$ верна ведь не только, когда $|\overline{r}(t)|\equiv\operatorname{const}$, а вообще при произвольном изменении $\overline{r}$?

эта тема тут обсуждалась, ищите

-- Пт сен 19, 2014 21:42:25 --

topic54869.html

[Munin]

tech в сообщении #909561 писал(а):

А как воспринимать вектор скорости или вектор угловой скорости?

Если у нас исходное пространство - точечное евклидово $\mathbb{E}^3$ (то есть, состоящее из точек, не имеющее выделенного начала координат, евклидова структура есть метрика - функция расстояний между точками); то пространство параллельных переносов этого исходного пространства - векторное евклидово пространство $T(3)\cong\mathbb{R}^3$ (состоящее из векторов = точек, имеющее выделенное начало координат (нулевой вектор) и векторную алгебру, евклидова структура есть норма - функция длины вектора).

Радиус-вектор (отложенный от выбранного начала координат) относится к первому пространству, вектор скорости - ко второму пространству (точнее, пространство скоростей "пропорционально" пространству параллельных переносов с "коэффициентом" $1/dt$).

Вектор угловой скорости относится к третьему пространству - к пространству поворотов с неподвижной заданной точкой $SO(3).$ Но он лежит не в самом этом пространстве, а тоже представляет собой "скорость движения" по этому пространству. Это важно: пространство $SO(3)$ искривлённое (представляет собой половину трёхмерной сферы), а вот скорость движения по нему - лежит в плоском пространстве,

$$\mathrm{T}SO(3)\cong\mathbb{R}^3.\eqno\mathrm{(iso)}$$

(Здесь нет уже такого простого соотношения, как для пространства параллельных переносов и пространства поступательных скоростей.) Последний изоморфизм - изоморфизм пространства угловых скоростей векторному 3-мерному - чистое совпадение для трёхмерного пространства, например, в 2-мерном пространстве угловые скорости 1-мерны, а в 4-мерном пространстве - 6-мерны.

Итого, получается, что несколько пространств совершенно разного происхождения выглядят алгебраически совершенно аналогично, и в элементарной теории описываются одними и теми же векторами.

Итак, подобьём бабки. Всё исходное пространство у нас - $\mathbb{E}^3.$ В нём, по сути, нет векторов, а есть точки. Движение твёрдого тела можно описать как движение (a. k. a. изометрию) этого пространства. Пространство движений называется $SE(3),$ оно 6-мерно, и каждое движение $e\in SE(3)$ раскладывается в композицию поворота $o\in SO(3)$ и параллельного переноса $\tau\in T(3)$:

$$e=\tau\circ o\quad\text{или}\quad e=o\circ \tau'$$

(заметьте, что параллельный перенос меняется при изменении порядка композиции). На языке матриц, если ввести в $\mathbb{E}^3$ систему координат $O_aXYZ$ (и обозначить вектор-столбец радиус-вектора $r$), то соответствующие движения будут выглядеть

$$r\to e(r)=Or+\tau\quad\text{или}\quad r\to e(r)=O(r+\tau'),$$

где $\tau,\tau'$ - вектор-столбцы, а $O$ - матрица. Уже отсюда видно, что у переносов и повоторов разная природа. Однако, по вышеупомянутому изоморфизму $\mathrm{(iso)},$ у матрицы $O$ тоже всего лишь три степени свободы, и в трёхмерном пространстве то же самое может быть записано в виде векторов:

$$r\to e(r)=o\times r+\tau\quad\text{или}\quad r\to e(r)=o\times(r+\tau').$$

Здесь $o$ - "вектор поворота", не являющийся вектором (повороты не складываются как векторы!!!), а используемый только ради нотации векторного произведения на $r.$ Реально за ним стоит операция поворота, или матрица.

Но когда мы всё это дело дифференцируем, например, чтобы взять производную по времени, то внезапно всё упрощается. Дифференциалы от "ненастоящих векторов" (таких, как радиус-вектор точки или "вектор поворота") являются настоящими векторами. Правда, они по-прежнему лежат в своих векторных пространствах, и действовать с ними надо осторожно, с учётом того, как связаны эти пространства. Итак:

$$\begin{gathered}de(r)=(dO)r+d\tau\quad\text{или}\quad de(r)=(dO)(r+\tau')+O(d\tau'),\\ de(r)=do\times r+d\tau\quad\text{или}\quad de(r)=do\times(r+\tau')+o\times d\tau',\\ \dot{e}(r)=\omega\times r+\dot{\tau}\quad\text{или}\quad\dot{e}(r)=\omega\times(r+\tau')+o\times\dot{\tau}'.\end{gathered}$$

Здесь мы можем назвать $\omega=\dot{o}$ вектором угловой скорости, а $v_O=\dot{\tau}$ - "переносной скоростью" (кажется, так, не помнил этих названий наизусть никогда). Первая формула удобнее второй, поскольку из неё исключены "векторы" $o,t'$ не под производными. (Но это, конечно, всего лишь дань выбранным обозначениям, поскольку мы стараемся выражать конечную точку через начальную $r\to e(r),$ а не наоборот, $e^{-1}(\tilde{r})\gets\tilde{r}.$)

Последующие дифференцирования ничего нового уже не добавляют: мы уже в векторных пространствах, и разность векторов снова есть вектор пространства, изоморфного первому. Поэтому, линейные и угловые ускорения тоже ведут себя как векторы, и для работы с ними применяются все обычные формулы для векторов.

Ну, как-то так. Боюсь, Oleg Zubelevich раскритикует вдребезги.

[Oleg Zubelevich]

Munin в сообщении #909748 писал(а):

Поэтому, линейные и угловые ускорения тоже ведут себя как векторы, и

угловые ускорения,однако, складываются по формуле $\overline\epsilon=\overline\epsilon_e+\overline\epsilon_r+[\overline\omega_e,\overline\omega_r]$

[Munin]

А как это показать на языке $SO(3)$ и касательных к нему пространств?

[Oleg Zubelevich]

не знаю, наглядного геометрического смысла именно в терминах $SO(3)$ может и нет. симметричный вопрос: а какой смысл имеет кориолисово ускорение в терминах группы $(\mathbb{R}^3,+)$