Гамильтониан

[TelmanStud]

Доброго дня всем!
Допустим у меня есть система с Гамильтонианом $H(q_1,q_2,q_1^*,q_2^*)$.($*$-знак комплексного сопряжения)
Уравнение для системы имеются как
$i\cfrac{\partial q_j}{\partial t}=\cfrac{\delta H}{\delta q_1^*},\,\,i\cfrac{\partial q_j^*}{\partial t}=-\cfrac{\delta H}{\delta q_1}$.
Теперь допустим делаю замену даже самую простенькую..
$q_1\to p_1+p_2,\,q_2\to p_1-p_2$. можно ли теперь утверждать, что новый гамильтониан $\tilde{H}$ относительно новых запишется как $\tilde{H}(p_1,p_2,p_1^*,p_2^*)=H(p_1+p_2,p_1-p_2,p_1^*+p_2^*,p_1^*-p_2^*,)$, а соответствующие уравнения как
$i\cfrac{\partial p_j}{\partial t}=\cfrac{\delta \tilde{H}}{\delta p_1^*},\,\,i\cfrac{\partial p_j^*}{\partial t}=-\cfrac{\delta \tilde{H}}{\delta p_1}$.

[TelmanStud]

Мда...

[Red_Herring]

TelmanStud в сообщении #909057 писал(а):

как
$i\cfrac{\partial q_j}{\partial t}=\cfrac{\delta H}{\delta q_1^*},\,\,i\cfrac{\partial q_j^*}{\partial t}=-\cfrac{\delta H}{\delta q_1}$.

М.б. всё-таки индех $j$ справа?

[Lia]

TelmanStud
Замечание за поднятие темы бессодержательным сообщением.

[TelmanStud]

Red_Herring в сообщении #909092 писал(а):

TelmanStud в сообщении #909057 писал(а):

как
$i\cfrac{\partial q_j}{\partial t}=\cfrac{\delta H}{\delta q_1^*},\,\,i\cfrac{\partial q_j^*}{\partial t}=-\cfrac{\delta H}{\delta q_1}$.

М.б. всё-таки индех $j$ справа?

Виноват да справа в уравнениях Гамильтона конечно индекс $j$

[Red_Herring]

А теперь скажите, чему д.б. $\{q_j,q_k\}$ и $\{q_j,q^*_k\}$

[TelmanStud]

$i\cfrac{\partial q_j}{\partial t}=\cfrac{\delta H}{\delta q_j^*},\,\,i\cfrac{\partial q_j^*}{\partial t}=-\cfrac{\delta H}{\delta q_j}$.

[Red_Herring]

Если Вы хотите помощи, ответьте на вопрос, который я Вам задал, поскольку он ключевой к пониманию того, какие преобразования допустимы и какие нет

[TelmanStud]

Red_Herring в сообщении #909106 писал(а):

Если Вы хотите помощи, ответьте на вопрос, который я Вам задал, поскольку он ключевой к пониманию того, какие преобразования допустимы и какие нет

Честно сказать не очень понял ваш вопрос... но выпишу гамильтониан в явном виде $H=\int \limits_{-\infty}^{+\infty}|q_{1,x}|^2+|q_{2,x}|^2+(|q_1|^2+|q_2|^2)^2dx$, где $x$ в нижнем индексе обозначает производную

[Munin]

Я подозреваю, с вас спрашивают скобки Пуассона.

[Red_Herring]

Munin в сообщении #909175 писал(а):

Я подозреваю, с вас спрашивают скобки Пуассона.

Разумеется. Именно они определяют допустимые преобразования (при которых с.П. сохраняются).

[TelmanStud]

$\{q_j(x)q_k(y)\}=\{q_j^*(x)q_k^*(y)\}=0$ и
$\{q_j(x)q_k^*(y)\}=i\delta_{jk}\delta(x-y)$

[Red_Herring]

Goody, токо Вы запятую в с.П. забываете.
$\{q_j(x),q_k(y)\}=\{q_j^*(x),q_k^*(y)\}=0$ и
$\{q_j(x),q_k^*(y)\}=i\delta_{jk}\delta(x-y)$

Ну а теперь посмотрите на предложенную Вами замену

TelmanStud в сообщении #909057 писал(а):

$q_1\to p_1+p_2,\,q_2\to p_1-p_2$.

и проверьте, сохранит ли она эти соотношения (главным образом последнее подозрительно). И если нет, то как подправить (например, помножить на какие числа)

[TelmanStud]

Red_Herring
Допустим подправлю преобразование и получу $\{p_j(x),p_k(y)\}=\{p_j^*(x),p_k^*(y)\}=0$ и $\{p_j(x),p_k^*(y)\}=i\delta_{jk}\delta(x-y)$. Что тогда можно утверждать? Или допустим не получу, тогда можно ли утверждать хотя бы то, что полученное новое $\tilde{H}$ является каким то интегралом движения, но уже не энергии.

-- 19.09.2014, 00:13 --

Или может можно принять в любом случае за гамильтониан $\tilde{H}$ и поменять пуассонову структуру.(Red_Herring
буду Вам весьма благодарен, если параллельно литературу какую подскажете)

[Red_Herring]

Ну возьмите например Арнольда "Мат Методы Классической Механики". Там нет $\delta(x-y)$ и вещественный случай, но комплексность Вашей теории "чисто мнимая". Если $q_j,p_k$ удовлетворяют обычным вещественным соотношениям, то с точностью до знака $Q_j=(q_j+ip_j)/\sqrt{2}$, $Q^*_j=(q_jьip_j)/\sqrt{2}$ удовлетворяют комплексным (и обратно). И тогда в любом случае $f_t=\{H,f\}$ уравнение изменения наблюдаемой $f$.