Монотонность

[Mikhail Sokolov]

Попробую обосновать подробнее.
В первом абзаце (до пустой строки) мы доказали, что если имеет место (3), то в точке $z^*$, удовлетворяющей неравенству (4), функция $g$ имеет разрыв.
Соотношения (5) и (6), следующие из (3), (4) и (2), есть в точности соотношения (3) и (4), но для точки $z^*+b$. Следовательно, мы можем применить к ним те же рассуждения и получить, что $g$ имеет также разрыв в точках вида $z^*+b$ для любого $b$.

[Brukvalub]

Mikhail Sokolov писал(а):

В первом абзаце (до пустой строки) мы доказали, что если имеет место (3), то в точке $z^*$, удовлетворяющей неравенству (4), функция $g$ имеет разрыв.

Здесь Вы переставили местами посылку и следствие из нее. Если в точке - разрыв, то утверждение про неравенства - справедливо (и с этим я согласился). Но, если неравенства - справедливы, то что мешает им в пределе превратиться в равенства? Ведь такие же неравенства будут верны и для любой непрерывной во всех точках строго монотонной функции.

[Mikhail Sokolov]

Да, совершенно верно, (4) имеет место для любой монотонной функции. Но у нас справделиво также и соотношение (3). И (4) в пределе не превращается в равенство из-за (3) (аналогично, (6) в пределе не превращается в равенство из-за (5)).

То есть рассуждения, грубо говоря, такие. Если имеет место (3), то у функции $g$ где-то должен быть разрыв, содержащий точку $G(x_1,...,x_n)$. Точку, в которой имеет место этот разрыв, мы обозначаем за $z^*$.
Далее из (2) следует, что $g$ также должна иметь разрывы, содержащие точки вида $G(x_1+b,...,x_n+b)$ (это соотношение (5)). И далее, соотношением (6), мы убеждаемся, что точки в которых имеют место эти разрывы, имеют вид $z^*+b$.

[Brukvalub]

Вы пишете:

Mikhail Sokolov писал(а):

Пусть для каких-то$x_1,...,x_n$ неравенство
(3) $G(x_1,...,x_n)\neq g(z)$
имеет место для всех $z$. В силу монотонности $g$ для данных $x_1,...,x_n$ найдется такое $z^*$, что
(4) $g(z^*-\epsilon) < G(x_1,...,x_n) < g(z^*+\epsilon)$ для любого $\epsilon>0$.
В силу (3) функция $g$ имеет разрыв первого рода в точке $z^*$ (действительно, если бы $g$ была непрерывна в точке $z^*$, то устремив в (4) $\epsilon$ к нулю, пролучили бы, что $G(x_1,...,x_n)=g(z^*)$).

Я специально выделил слово "найдется". Итак, Вы можете утверждать, что из условия (3) вытекает неравенство (4). Из неравенства (4) Вы пока можете извлечь только условие (5). А далее Вы подменяете одно рассуждение другим:

Mikhail Sokolov писал(а):

В силу (2) и (3) имеем
(5) $G(x_1+b,...,x_n+b)\neq g(z+b)$ для всех $z$ и $b$.
В силу (2) и (4) для любого $b$ имеем:
(6) $g(z^*+b-\epsilon) < G(x_1+b,...,x_n+b) < g(z^*+b+\epsilon)$ для любого $\epsilon>0$.
Значит функция $g$ имеет разрыв первого рода также в точках $z^*+b$для всех $b$

. А следовало бы написать, что из условия (5) опять вытекает только существование некой точки "$z^*_1$, такой,что
функция $g$ имеет разрыв первого рода в точке $z^*_1$ " И, как я уже писал Вам, совсем не ясно, почему этот разрыв наступит именно в точке $z^*+b$.

[Mikhail Sokolov]

Вот аргументация почему этот разрыв наступит именно в точке $z^*+b$.
Предположим противное: то есть одновременно имеют место соотношения (5), (6), но в точке $z^*+b$ функция $g$ непрерывна. Тогда, устремляя в (6) $\epsilon$ к нулю справа, получим $G(x_1+b,...,x_n+b)=g(z^*+b)$, что противоречит (5).

[Brukvalub]

Да, теперь я склонен считать, что Вы все доказали верно.

[Mikhail Sokolov]

Большое Вам спасибо за обсуждения!