Решение системы - гомоморфизм

[OlgaD]

Не могу понять следующее биекцию. Помогите разобраться, пожалуйста. Обозначения: $X$ - это система алгебраических уравнений $F_i(T_1,\ldots,T_n)=0,i\in I;$ $P$ - идеал, порожденный многочленами $F_i\in K[T_1,\ldots,T_n],$ где $K$ - произвольное (коммутативное) кольцо; $X(K)$ - множество всех решений системы $X.$ Можно также рассмотреть $K$-алгебру $L,$ а значит, и множество решений $X(L).$
Утверждается, что

Цитата:

$X(L)=\operatorname{Hom}_K(A,L),$ где $A=K[T_1,\ldots,T_n]/P,$ а $\operatorname{Hom}_K$ - множество гомоморфизмов $K$-алгебр.

Не понимаю как строится эта биекция между множеством решений системы и множеством гомоморфизмов.
Вот, например, система $X:\{x^2+y^2=1,x-y=0\}.$ Имеем $X(\mathbb{R})=\{(\sqrt{2}/2,\sqrt{2}/2),(-\sqrt{2}/2,-\sqrt{2}/2)\}.$ Если рассматривать $\mathbb{R}$-алгебру $\mathbb{C},$ то $X(\mathbb{C})=\{(\pm\sqrt{2}/2-bi,\pm\sqrt{2}/2-bi)\}.$

[OlgaD]

Кажется, я неправильно вычислила $X(\mathbb{C}).$ Вроде как $X(\mathbb C)=X(\mathbb R).$

[Evgenjy]

Если Вы это разбираете по книге Ю. И. Манина "Афинные схемы", то там дано четкое и ясное доказательство.

OlgaD в сообщении #908362 писал(а):

Кажется, я неправильно вычислила $X(\mathbb{C}).$ Вроде как $X(\mathbb C)=X(\mathbb R).$

Вообще множества решений при различных $K$-алгебрах не обязаны совпадать, как не обязаны совпадать и соответствующие множества гомоморфизмов.

[OlgaD]

Evgenjy в сообщении #908713 писал(а):

Если Вы это разбираете по книге Ю. И. Манина "Афинные схемы", то там дано четкое и ясное доказательство.

Именно по ней, и именно здесь и возникли вопросы. Проблема в том, что я не могу сообразить, что из себя представляют гомоморфизмы $K[T_1,\ldots,T_n]/P\rightarrow L.$ Можете пояснить на примере системы выше? У меня получается следующая цепочка: моя система $X$ - идеал $P=(x^2+y^2-1,x-y)$ - факторкольцо $A=\mathbb R[x,y]/P$ и я не понимаю, что в данном случае будет гомоморфизмом $A\rightarrow\mathbb R$ или $A\rightarrow\mathbb C.$

[Evgenjy]

OlgaD в сообщении #908715 писал(а):

я не понимаю, что в данном случае будет гомоморфизмом $A\rightarrow\mathbb R$ или $A\rightarrow\mathbb C.$

Если ищете корни в $\mathbb R$, то гомоморфизм $A\rightarrow\mathbb R$.
Если ищете корни в $\mathbb C$, то гомоморфизм $A\rightarrow\mathbb C$.

Возьмите одно уравнение $x^4-1=0$. Увидите разницу между действительным и комплексным случаем.

[OlgaD]

Evgenjy в сообщении #908886 писал(а):

Возьмите одно уравнение $x^4-1=0$. Увидите разницу между действительным и комплексным случаем.

Разницу между множествами решений исходной системы со значениями в различных кольцах я понимаю. Мой же вопрос изначально касался другого. Чему соответствуют элементы из факторкольца $A$ (на языке решения систем) и как строится гомоморфизм $A\rightarrow L.$

Evgenjy в сообщении #908886 писал(а):

Если ищете корни в $\mathbb R$, то гомоморфизм $A\rightarrow\mathbb R$.
Если ищете корни в $\mathbb C$, то гомоморфизм $A\rightarrow\mathbb C$.

Это как понимать?

[Evgenjy]

OlgaD в сообщении #908928 писал(а):

... со значениями в различных кольцах

Лучше сказать $K$-алгебрах.

OlgaD в сообщении #908928 писал(а):

как строится гомоморфизм $A\rightarrow L.$

Элемент факторкольца $A$ - это класс эквивалентности многочленов. Берете любой многочлен из этого класса эквивалентности и подставляете туда значение корня. Полученный элемент $K$-алгебры и будет образом элемента факторкольца $A$.

[OlgaD]

Evgenjy в сообщении #909061 писал(а):

и подставляете туда значение корня

Под корнем имеете в виду решение системы над кольцом $K$ или $L?$

[Evgenjy]

OlgaD в сообщении #909065 писал(а):

Под корнем имеете в виду решение системы над кольцом $K$ или $L?$

Слово "корень" было неудачно. Читайте так:
Берете любой многочлен из этого класса эквивалентности и подставляете туда решение принадлежащее алгебре $L$.
Используя одно решение, получаете один гомоморфизм. Взяв другое решение получите другой гомоморфизм. Сколько решений в алгебре $L$ столько и будет гомоморфизмов $A\rightarrow L.$
Взяв вместо $L$ другую $K$-алгебру, получите другие решения и другие гомоморфизмы, где опять каждому решению будет однозначно соответствовать свой гомоморфизм.

[OlgaD]

Я все равно не могу понять доказательство Манина, так как окончательно запуталась в его обозначениях.
Наверное, стоит попробовать придерживаться его обозначений и считать, что система $X$ содержит неизвестные $T=(T_j)_{j\in J}.$ Он пишет

Цитата:

Пусть $t=(t_j)\in X(L).$ Существует гомоморфизм $K$-алгебр $K[T_j]\rightarrow L,$ который на $K$ совпадает со структурным гомоморфизмом $K\rightarrow L,$ а $T_j$ переводит в $t_j.$

Сразу появляется вопрос что за гомоморфизм $K[T_j]\rightarrow L$ он имеет в виду? Может быть $K[T]\rightarrow L$ или все-таки для одной переменной? Что за структурное отображение? $T_j$ - переменная переводится в элемент решения $t_j$ (мы подставляем вместо каждого $T_j$ значение $t_j?$)

[OlgaD]

Не знаю, насколько правильно, но я понимаю доказательство так. Пусть есть система $X$ над кольцом $K.$ Фиксируем произвольную точку $t=(t_j)\in X(L).$ Каждой такой точке можно поставить в соответствие гомоморфизм $\varphi_t:K[T]\rightarrow L,\;f\mapsto f(t),$ причем $P\subset\operatorname{Ker}\varphi_t.$ Значит, отображение $\varphi_t$ можно представить как композицию гомоморфизмов $K[T]\rightarrow A$ и $A\rightarrow L.$ Последний гомоморфизм определяется однозначно.
Наоборот, пусть дан гомоморфизм $K$-алгебр $A\rightarrow L.$ Значит есть и цепочка гомоморфизмов $K[T]\rightarrow A\rightarrow L.$ Предположим, что элементы $t_j\in L$ - это образы многочленов $T_j$ относительно данного "сквозного" гомоморфизма. А вот почему $(t_j)\in X(L)$ не совсем понятно.

[OlgaD]

Хотя, может быть так? Если сквозной гомоморфизм переводит $T_j$ в $t_j,$ то по свойству гомоморфизмов колец имеем $aT_j\rightarrow at_j\;(a\in K)$ и $T_j^k\rightarrow t_j^k.$ Тогда любой многочлен $f\in K[T]$ переводится этим гомоморфизмом в $f(t),$ где по-прежнему $t=(t_j).$ Если мы возьмем $f\in P,$ то получим, что гомоморфизмом $K[T]\rightarrow A$ он переводится в нулевой класс, т.е. в нуль. Опять же по свойству гомоморфизмов нуль переводится в нуль, т.е. мы получаем $f(t)=0$ для любого $f\in P.$ Значит, $t=(t_j)\in X(L).$

[Evgenjy]

OlgaD в сообщении #909498 писал(а):

Хотя, может быть так?

Вы смогли сами разобраться.

[OlgaD]

Думаю, что не совсем сама, поэтому большое спасибо за помощь. Итак, каждому решению $X(L)$ соответствует гомоморфизм $A\rightarrow L,$ определяемый как подстановка этого решения в разные классы эквивалентности многочленов над $K.$ Другими словами, этот гомоморфизм однозначно определяется своими значениями в алгебре $L?$ Хотелось бы еще более точно представлять, что называется структурным гомоморфизмом алгебр.

[Evgenjy]

OlgaD в сообщении #909767 писал(а):

что называется структурным гомоморфизмом

$K\rightarrow L :k\mapsto k1_L,$, где $1_L$ - единица в $L$.