В Фихтенгольце есть обертывающие асимптотические ряды (2-й том, конец главы 12 (хотя нет, вру: асимптотические ряды есть в де Брейне в 1.5.)), какие-то определения там были. Задавалась система функций

такая, что

(хотя м.б. и отношение наоборот) и в нее раскладывалась

:
Если верно, что



...
то

- асимптотический ряд для

.
Но понятно, что не все функции будут раскладываться в нем (требуется как минимум несчетное число таких функций).
(Оффтоп)
И еще если там пытаться во множестве функций вводить метрику или норму, то она будет неархимедова
из множества всех неотрицательных, неубывающих с какой-то точки на

функций можно попробовать вычленить множество "хороших" функций, растущих "регулярно" (например, функция

растёт "нерегулярно", а

— "регулярно")
В "Конкретной математике" был описан подобный класс - класс логарифмически-экспоненциальных функций

(по Харди):
1)

2)

3)

4)

5)

Для них можно искать асимптотику.
Таким образом, каждой "хорошей" функции сопоставляется класс эквивалентности, который можно с гордостью назвать её асимптотикой.
Обычно еще и выбирается представитель класса. С выбором представителя обычно сложнее. А без его выбора нетривиальность вопроса "какова асимптотика функции

" ускользает: спросят нас "чему равна асимптотика

", а мы тогда можем ответить, что она равна

.
Кстати, Вас в качестве асимптотики интересует только "первый член" или "весь ряд"?