ТАУ: Расчет передаточной функции для колебательного контура

[schmidt]

Добрый день,

Разбираю задачу по нахождению передаточной функции в электрической цепи. Если я правильно понял, то на схеме представлен колебательный контур



и передаточная функция для него, в соответствии с формулой для колебательного звеена в общем виде будет такой:

$$ W(s) = \frac{k}{\tau s^2 + 2 \tau \varepsilon s + 1} $$

где $k = W(0)$ - коэффициент усиления или статический коэффициент передачи, $\tau = R C$ - постоянная времени и $\varepsilon = \frac{R}{2 L}$ - коэффициент затухания. Таким образом, применительно к данной схеме, формулы получат вид:

$$ R = R_1 + R_2 $$

$$ \varepsilon = \frac{R_1 + R_2}{2 L} $$

$$ \tau = (R_1 + R_2) C $$

и, собственно, сама передаточная функция

$$ W(s) = \frac{k}{(R_1 + R_2)^2 C^2 s^2 + 2 C \frac{(R_1 + R_2)^2}{2 L} s + 1 } = \frac{k}{ C_1 s (R_1 + R_2)^2 (C_1 s + \frac{1}{ L_1}) + 1 } $$

Таким образом я выразил передаточную функцию через параметры элементов схемы (емкость, индуктивность и общее сопротивление), верно? А как представить, что такое статический коэффициент передачи $k$? $k = W(0)$ - это передаточная функция схемы при единичном импульсном воздействии $\delta$ (функция Дирака)?

[мат-ламер]

schmidt в сообщении #907975 писал(а):

Если я правильно понял, то на схеме представлен колебательный контур

По-моему, это ФНЧ (фильтр низкой частоты) второго порядка. Из того, что помню со школы. Сопротивление индуктивности и конденсаторов считать мнимым. Дальше посчитать по простейшим правилам сопротивление цепочки из четырёх последовательных элементов. Посчитать ток через него. Дальше подсчитать паление напряжения на R2 и С1. Дальше избавляемся от мнимых единиц, (т.е. продолжаем функцию с мнимой оси на комплексную плоскость). Получили передаточную функцию. Дальше применяем преобразование Фурье (прямое или обратное - не помню) и получаем реакцию на функцию Дирака (типа функции Грина). (А почему задачу поместили в математический раздел?).

[profrotter]

Помилуйте, ну кто ж так считает передаточную функцию? У вас же вагоны впереди паравоза: это Вы сначала должны найти передаточную функцию, а потом можете классифицировать звено.
На схеме у вас представлен Г-образный делитель напряжения, для которого $W(s)=\frac{z_2}{z_1+z_2}$, где $z_1(s)=R_1+sL$ и $z_2(s)=R_2+\frac{1}{sC}$ - операторные сопротивления цепочек $L-R_1$ и $R_2-C$ соответственно. Подставьте и посмотрите, что получится.

[schmidt]

Не могу сообразить сразу - начал с самого начала. Передаточная функция - это отношение изображений по Лапласу выходного сигнала ко входному. В качестве сигнала у нас выступает напряжение. Вооружившись сведениями из электротехники, получаю:

$$ U_{input} = U_L + U_{R_1} + U_{R_2} + U_C $$ $$ U_{output} = U_{R_2} + U_C $$ $$ U_L = L \frac{\partial i}{\partial t} $$ $$ U_C = \frac{1}{C} \int idt $$ $$ U_{input} = L \frac{\partial i}{\partial t} + iR_1 + iR_2 + \frac{1}{C} \int idt $$ $$ U_{output} = iR_2 + \frac{1}{C} \int idt $$

И далее полагаю

$$ W(p) = \frac{ \mathcal{L}\left\{U_{output} \right\} }{ \mathcal{L}\left\{U_{input} \right\} } $$

Верно? Только я никак не могу сообразить, как перейти к операторной форме. Если умножение на оператор $p$ дифференцирования равносильно операции дифференцирования, то можно провести замену

$$ L \frac{\partial i}{\partial t} = L p i $$

А что делать с интегралом $\frac{1}{C} \int idt$ ?

[profrotter]

schmidt в сообщении #925008 писал(а):

А что делать с интегралом

Делить изображение на $p$. (Предварительно определившись, что у вас таки будет $s$ или $p$).