Плоскость и точка.

[frankenstein]

Задача звучит достаточно обычно:
Дана плоскость и точка, требуется узнать точку пересечения плоскости
с перпендикуляром опущенным из данной точки на плоскость.

Путь пройденный мной:
Итак, дано:
Плоскоть $\alpha$
Точка $A$
Надо, найти такую точку плоскости, чтобы прямая
проходящая через эту точку и точку $A$, была
перпендикулярна данной плоскости.

Если отвлечься от геометрии и взглянуть на формулы,
то мы получаем систему уравнений с тремя неизвестными.

Первым уравнением будет проверка принадлежности плоскости.
...
Вот дальше не знаю, как найти еще два условия. Ведь решение
единственно?

[Otta]

Запишите все, что дано, в декартовой системе координат - координаты и уравнения.
Составьте все уравнения, которые требуется составить из контекста задачи, - нет труда это сделать. И все немедленно получится.

[_hum_]

Otta, а может, нагляднее и удобнее в таких задачах использовать векторные способы задания плоскостей, прямых и точек?

[Otta]

Одно другого вовсе не исключает, а даже наоборот.

[_hum_]

Разве? А мне кажется координатный сопосб и векторный - все-таки взаимозаменяющие альтернативы.

[Otta]

(Оффтоп)

Объясните разницу, а то так неучем и помру.

[_hum_]

Otta

(Оффтоп)

Ну, данная задача решалась бы как-то так: берем вектор нормали плоскости, используем его в качестве направляющего вектора прямой, проходящей через заданную точку (опять же заданной в параметрическом векторном виде), после чего ищем параметр, при котором происходит пересечение с плоскостью (то есть, параметр, при котором радиус-вектор точки на прямой удовлетворет векторному уравнению плоскости). Откуда окончательно находим радиус-вектор нужно точки пересечения. Все. Нигде координаты не используются.

[Otta]

(Оффтоп)

_hum_ в сообщении #907965 писал(а):

Нигде координаты не используются.

И ни координаты векторов, ни координаты точек использоваться, конечно, не будут. )) Я уж не буду ко всем словам придираться, хоть мне и есть разгуляться где. Пусть ТС сам разбирается.

[_hum_]

Otta

(Оффтоп)

Координаты не будут использовать при решении. Именно в этом красота векторного подхода.

[Otta]

_hum_
Извините, когда я пишу - написать уравнение прямой в декартовых координатах - я совсем не обязательно полагаю, что он так одну и принесет... то есть наоборот, будет методично выписывать все координаты одну за другой. Тем более, тут даже размерность пространства не принципиальна. Есть гиперплоскость (коразмерности один) и точка. Далее по тексту.

[_hum_]

Otta

(Оффтоп)

Otta в сообщении #907972 писал(а):

Извините, когда я пишу - написать уравнение прямой в декартовых координатах - я совсем не обязательно полагаю, что он так одну и принесет... то есть наоборот, будет методично выписывать все координаты одну за другой.

"Платон мне друг, но истина дороже." Вы писали

Otta в сообщении #907946 писал(а):

Запишите все, что дано, в декартовой системе координат - координаты и уравнения.

Как это можно иначе понимать, как не запиши уравнения в координатном виде?

[VAL]

_hum_ в сообщении #907965 писал(а):

Ну, данная задача решалась бы как-то так: берем вектор нормали плоскости, используем его в качестве направляющего вектора прямой, проходящей через заданную точку (опять же заданной в параметрическом векторном виде), после чего ищем параметр, при котором происходит пересечение с плоскостью (то есть, параметр, при котором радиус-вектор точки на прямой удовлетворет векторному уравнению плоскости).

Цитата:

А чем хуже, если (гипер)плоскость задана общим уравнением? Там мгновенно получается одно уравнение от одной переменной.

[Otta]

_hum_
Элементарно. Разрешите, я Вам отвечу не раньше чем после того, как ТС решит свою задачу, чтобы не нарушать правила раздела. И без того достаточно.

[frankenstein]

Итак:
Уравнение прямой проходящей через две точки в пространстве:

$$ \frac{x-x_1}{x_2-x_1} = \frac{y-y_1}{y_2-y_1} = \frac{z-z_1}{z_2-z_1} $$

Здесь неизвестными являются числа $x_2, y_2, z_2$, остальные
неизвестные заданы в условии.

А уравнение плоскости допустим такое:

$$ Ax + By + Cz + D = 0 $$

Итак первое условие:

$$ Ax_2 + By_2 + Cz_2 + D = 0 $$

Второе условие, думаю второе условие должно быть таким.
Возьмем две прямые из данной плоскости и проверим на
перпендикулярность с данной, получатся два уравнения.
Но дальше затрудняюсь, т. к. не знаю как проверить
перпендикулярность прямых в пространстве.
Я иду по правильному пути?

[Munin]

Перпендикулярность прямых проверяется элементарно: у вас в знаменателе (канонического) уравнения прямой записаны координаты вектора, направленного вдоль этой прямой. Перпендикулярность векторов записывается, думаю, вы знаете как.

А вот перпендикулярность прямой и плоскости... можно записать проще, чем по вашему способу.