Целые решения уравнения с простыми параметрами

[Droog_Andrey]

Нужно найти все пары простых значений параметров $p$, $q$, при которых уравнение

$$x^2-qx-20=pq$$

имеет хотя бы одно целое решение.

(Случай с $p=2$ разобрать легко)

Если дискриминант $q^2+8q+80$ равен квадрату целого числа $t^2$, то получаем $(q+4)^2-t^2 = -64 = (q+4+t)(q+4-t)$; левый сомножитель либо $16$, либо $32$, откуда следует два решения $q=2$ и $q=11$.

А вот доказать, что решений при $p\ne2$ нет, как-то не получается сходу.

[ИСН]

"Хотя бы одно" - лишние слова. Если один корень целый, то и другой тоже.
Теперь по существу. Поглядев на решения без требования простоты, начинаю прозревать, что при нечётном $p$ у нас возможны только чётные $q$.
А ведь так и есть.

[Droog_Andrey]

Ну я оригинальную формулировку привёл. А почему $p$ и $q$ не могут быть одновременно нечётными? Туплю.

[ИСН]

Потому что тогда дискриминант некрасиво выглядит по модулю 8.

[Droog_Andrey]

Чорт. Действительно, он всегда $5\mod 8$. А при $q=2$ иксы имеют вид $1\pm\sqrt{2p+21}$, а под корнем при нечётном $p$ получается $3\mod 4$.

[ewert]

ИСН в сообщении #907913 писал(а):

Потому что тогда дискриминант некрасиво выглядит по модулю 8.

Круто. Но вообще-то если сумма корней нечётна, то их произведение чётно.