Пересечение главных идеалов

[Nafanya]

Помогите решить задачу!
Пусть $R$ - коммутативное кольцо. $a,e \in R$, причем $e$ - идемпотентный элемент. Найти $(a) \cap (e)$.
Я предполагаю, что этот идеал имеет вид $I=\{aek, k \in R\}$. Чтобы доказать, что $(a) \cap (e)=I$, нужно доказать что $I$ содержится в $(a) \cap (e)$ и обратное. с первым просто:
$(a)= \{ar, r \in R\}, (e)=\{em, m \in R\} \Rightarrow ae \in (a), ea \in (e) \Rightarrow I \subset (a) \cap (e) $. А вот по поводу второго есть затруднения: надо доказать, что если некоторый элемент $c = ak = el$, то $c = aem$. Как это доказать, не совсем понимаю.

[nnosipov]

Nafanya в сообщении #907649 писал(а):

надо доказать, что если некоторый элемент $c = ak = el$, то $c = aem$. Как это доказать, не совсем понимаю.

Умножьте равенство $ak=el$ на $e$.

Знак пересечения $\cap$

\cap

[Nafanya]

Большое спасибо за совет! перепутал буквы в обозначении, уже поправил!