Условный экстремум

[main.c]

Найти условный экстремум функции:

$$f = xy, \ x^3 + y^3 - axy = 0, \ a > 0$$

Составим функцию Лангранжа:

$$L(x, y, \lambda) = xy + \lambda(x^3 + y^3 - axy)$$

Из необходимого условия существования условного экстремума получим систему:

$$\begin{cases}y + \lambda(3x^2 - ay) = 0\\ x + \lambda( 3y^2 - ax) = 0\\ x^3 + y^3 - axy = 0\end{cases}$$

Теперь по идее нужно найти $x$ и $y$ из этой системы. Вот только это походу не очень-то и тривиальная задача. Я правильно решаю или тут есть другой способ?

[Red_Herring]

main.c в сообщении #907258 писал(а):

Вот только это походу не очень-то и тривиальная задача

Совершенно тривиальная. Исключите $\lambda$ из первого и второго уравнений.

[main.c]

Я вот что подумал, я ведь могу подставить $z = f = xy$ в уравнение связи? Тогда мы сведём задачу к нахождению экстремума функции $z$ заданной в виде:

$$z = \dfrac{x^3 + y^3}{a}$$

-- 13.09.2014, 14:02 --

Уже сообразил, что нельзя, потому что $z$ не имеет экстремумов, а в ответе экстремумы есть. Но почему с математической точки зрения нельзя так делать?

[ИСН]

C математической точки зрения у Вас была функция, заданная на какой-то очень ограниченной части плоскости, а получилась функция, заданная на всей плоскости. Не надо заглядывать, что произошло в середине, чтобы понять: это не одно и то же.

[main.c]

Red_Herring в сообщении #907262 писал(а):

main.c в сообщении #907258 писал(а):

Вот только это походу не очень-то и тривиальная задача

Совершенно тривиальная. Исключите $\lambda$ из первого и второго уравнений.

$$\begin{cases}y - x\dfrac{3x^2 - ay}{3y^2 - ax} = 0\\ x - y\dfrac{3y^2 - ax}{3x^2 - ay} = 0\\ x^3 + y^3 - axy = 0\end{cases}$$

Первое и второе уравнения эквивалентны, поэтому можем 1 исключить, получится:

$$\begin{cases} x - y\dfrac{3y^2 - ax}{3x^2 - ay} = 0\\ x^3 + y^3 - axy = 0\end{cases}$$

В общем вышло:
$x = y = 0$ и $x = y = a/2$
Со вторым случаем всё ясно - это точка строгого локального максимума, а вот с $x = y = 0$ - не совсем. Как показать, что эта точка - не экстремум?

[cool.phenon]

Например, посмотреть матрицу Гессе или второй дифференциал

[bot]

Ну к лешему эту квадратичную форму. Надо подумать, как без неё обойтись. А не воспользовать ли определением - оно ведь в отличие от достаточных условий является необходимым и достаточным.
Итак, надо взять значение функции в начале координат и сравнить с чем?

И ещё 5 коп. Если Вы уж добрались до экстремумов, то эту кривую Вы должны были встретить (и не раз) не только в данном виде, но и в параметрическом - здесь это окажется весьма кстати.

-- Сб сен 13, 2014 19:37:39 --

cool.phenon, об чём ТС и говорил - это ничего не даёт

[redicka]

main.c в сообщении #907266 писал(а):

Я вот что подумал, я ведь могу подставить $z = f = xy$ в уравнение связи? Тогда мы сведём задачу к нахождению экстремума функции $z$ заданной в виде:

$$z = \dfrac{x^3 + y^3}{a}$$

-- 13.09.2014, 14:02 --

Уже сообразил, что нельзя, потому что $z$ не имеет экстремумов, а в ответе экстремумы есть. Но почему с математической точки зрения нельзя так делать?

Потому, что в уравнении связи $z$ равно нулю.

[main.c]

bot в сообщении #907322 писал(а):

с чем?

К сожалению я не понимаю Вас. В (0, 0) целевая функция равна 0. С чем её сравнить?

bot в сообщении #907322 писал(а):

И ещё 5 коп. Если Вы уж добрались до экстремумов, то эту кривую Вы должны были встретить (и не раз) не только в данном виде, но и в параметрическом - здесь это окажется весьма кстати.

Встречал, да, вот только не помню я параметрической формы этой кривой. Не всегда ведь можно легко вывести параметрическую форму, как быть в таком случае? Определение условного экстремума лишь говорит, что на ограничении функции на множество, которое задаёт уравение связи, эта точка является экстремумом.

-- 13.09.2014, 16:18 --

Пусть $M $ это множество точек кривой, тогда если идти по определению, нам фактически нужно показать, что в любой окрестности точки (0, 0) $\exists x,y \in M: f(x, y) > 0 \ (f(x, y) < 0)$. bot, Вы это имели ввиду?

[bot]

main.c в сообщении #907333 писал(а):

если идти по определению, нам фактически нужно показать, что в любой окрестности точки (0, 0) $\exists x,y \in M: f(x, y) > 0 \ (f(x, y) < 0)$. bot, Вы это имели ввиду?

Да, это, если убрать ерунду с никому неведомым М. Скажите лучше словами: в любой окрестности начала координат найдутся две точки на кривой, в которых ...

main.c в сообщении #907333 писал(а):

да, вот только не помню я параметрической формы этой кривой

Так выведите. Если взять в качестве параметра коэффициент пропорциональности между переменными, что получится?

[redicka]

Кстати, вот кривая, на которой ищется экстремум. $a=4$

[main.c]

redicka в сообщении #907452 писал(а):

Кстати, вот кривая, на которой ищется экстремум. $a=4$

(Оффтоп)

А в какой программе Вы это сделали?

[redicka]

Маткад.

[bot]

Против лома нет приёма. Только вот задача совсем лёгкая, а лом тяжёлый.

[мат-ламер]

main.c в сообщении #907307 писал(а):

$$\begin{cases}y - x\dfrac{3x^2 - ay}{3y^2 - ax} = 0\\ x - y\dfrac{3y^2 - ax}{3x^2 - ay} = 0\\ x^3 + y^3 - axy = 0\end{cases}$$

Первое и второе уравнения эквивалентны, поэтому можем 1 исключить, получится:

$$\begin{cases} x - y\dfrac{3y^2 - ax}{3x^2 - ay} = 0\\ x^3 + y^3 - axy = 0\end{cases}$$

Этот ход я не понял, хотя дальше всё вроде правильно.