Глобальные симметрии стандартной модели и геометрия

[bayak]

Идея состоит в том, чтобы получить нужные унитарные симметрии из расширения геометрии пространства-времени. Для этого мы берём дублет (финслерово произведение) пространств Минковского, имеющий квадратичную метрическую форму:
$\begin{equation*} S^2=t^2-x^2-y^2-z^2-t^{*2}+x^{*2}+y^{*2}+z^{*2}, \end{equation*}$
а затем сворачиваем его в цилиндрическое многообразие, ассоциированное с комплексным многообразием:
$(e^{T-iT^*}, e^{X-iX^*}, e^{Y-iY^*}, e^{Z-iZ^*}),$
где произведена замена переменных
$\begin{equation*} \begin{cases} T=t+t^*,&T^{*}=\varphi_{T}=t-t^*,\\ X=x+x^*,&X^{*}=\varphi_{X}=x-x^*,\\ Y=y+y^*,&Y^{*}=\varphi_{Y}=y-y^*,\\ Z=z+z^*,&Z^{*}=\varphi_{Z}=z-z^*, \end{cases} \end{equation*}$
в которых квадратичная форма имеет вид
$\begin{equation*} S^{2}= TT^{*} - XX^{*} - YY^{*} - ZZ^{*} \end{equation*}$.
Тогда произвольная композиция вращений цилиндров в целом (преобразований из группы $SO(1,3)$, действующих на пары цилиндрических координат) и их собственных вращений (сдвигов изотропных координат со звёздочкой) будут принадлежать некой группе симметрии цилиндрического многообразия. На обсуждение выносится вопрос её соответствия унитарным симметриям стандартной модели элементарных частиц.

[Munin]

bayak в сообщении #907248 писал(а):

будут принадлежать некой группе симметрии цилиндрического многообразия. На обсуждение выносится вопрос её соответствия унитарным симметриям стандартной модели элементарных частиц.

Чего тут обсуждать? Посчитайте группу, и убедитесь, что не соответствует.

[bayak]

Munin в сообщении #907284 писал(а):

Чего тут обсуждать? Посчитайте группу, и убедитесь, что не соответствует.

Какой Вы шустрый однако. Ну "поверните" цилиндр $(X,X^*)$ к цилиндру $(Y,Y^*)$ и покрутите эти цилиндры, а затем опять "поверните" их. В итоге получите элемент группы $U(2)$.

[Munin]

Вы посчитали группу?

[bayak]

Munin в сообщении #907298 писал(а):

Вы посчитали группу?

Думаете это просто? Когда посчитаете, то дайте мне знать.

[Munin]

Это вы должны посчитать.

Если для вас это не просто - пишите в математику в раздел "Помогите решить / разобраться".

А разговор про физику (короткий, состоящий из двух слов) можете начинать только тогда, когда посчитали. Безо всяких "на обсуждение выносится". Группы - это вполне конкретный объект, равны или не равны.

[bayak]

Munin, Вы заявили об отсутствии соответствия. Так будьте последовательны, докажите это.

[Munin]

Нет, учебные задачи вы должны решать сами. Готовые решения предоставлять нельзя по правилам форума.

[bayak]

Munin в сообщении #907328 писал(а):

Нет, учебные задачи вы должны решать сами.

Ну если для Вас это учебная задача, то я рад за Вас. Впрочем, дайте, пожалуйста, ссылку из учебника на соответствующее упражнение.

[Someone]

bayak, идея ваша, Вам её и обосновывать. С какой стати кто-то за Вас должен считать какие-то группы?

[bayak]

Someone в сообщении #907433 писал(а):

bayak, идея ваша, Вам её и обосновывать. С какой стати кто-то за Вас должен считать какие-то группы?

Совершено верно, каждый должен обосновывать свою мысль, поэтому я и прошу Muninа обосновать своё неприятие представленной здесь на обсуждение идеи. Конечно же, считать за меня никто ничего не должен, но если у кого-то идея вызывает интерес, то ничто ему не помешает развить её.

Со своей стороны в развитие идеи замечу, что в данном случае надо различать группу симметрии цилиндрического многообразия от симметрий геометрического объекта в этом многообразии. Поэтому ожидается, что вращение в нём окружности индуцирует группу $U(1)$, "вращение" в нём, вернее в подпространстве $(X,X^*,Y,Y^*,Z,Z^*)$, 2-тора индуцирует группу $SU(2)$. В свою очередь, "вращение" в подпространстве $(X,X^*,Y,Y^*,Z,Z^*)$ 3-тора индуцирует группу $SU(3)$. Механизм нарушения симметрий, возможно, связан с "поворотом" 2-тора в сторону подпространства $(T,T^*)$.

[g______d]

bayak в сообщении #907248 писал(а):

На обсуждение выносится вопрос её соответствия унитарным симметриям стандартной модели элементарных частиц.

Одна группа компактная, другая нет.

[bayak]

g______d в сообщении #907544 писал(а):

Одна группа компактная, другая нет.

Да, Вы правы. Поэтому надо сместить акцент на симметрии компактных геометрических объектов этого многообразия.

[bayak]

bayak в сообщении #907552 писал(а):

Поэтому надо сместить акцент на симметрии компактных геометрических объектов этого многообразия.

В этой связи, следует отметить, что собственное вращение единичной окружности $z=e^{i\varphi}$ может быть представленно действием группы $U(1)$. Вместе с тем, если вращение двух пар единичных окружностей $\left(z_1=e^{i\varphi_1}, z_2=e^{i\varphi_2}\right)$ представленно действием группы ортогональных преобразований $SO(2,\mathbb{R})$, то произвольная композиция вращения этих пар окружностей и их собственных вращений, представленных действием группы унимодулярных диагональных матриц $\operatorname{diag}\left[e^{i\alpha}, e^{i\beta}\right]$, где $\alpha + \beta =2\pi n$, принадлежит группе унитарных преобразований $SU(2)$. В то же время, произвольная композизия вращений трех пар единичных окружностей $\left(z_1=e^{i\varphi_1}, z_2=e^{i\varphi_2}, z_3=e^{i\varphi_3}\right)$, представленных действием группы $SO(3,\mathbb{R})$, и их унимодулярных собственных вращений, представленных действием группы унимодулярных диагональных матриц $\operatorname{diag} \left[e^{i\alpha}, e^{i\beta}, e^{i\gamma}\right]$, где $\alpha + \beta + \gamma =2\pi n$, принадлежит группе унитарных преобразований $SU(3)$. Тем самым, вращения окружности, 2-тора и 3-тора в подпространстве $\left\{(X,X^*),(Y,Y^*),(Z,Z^*)\right\}$ цилиндрического многообразия составляют группу $U(1)\times SU(2)\times SU(3)$, которая совпадает с группой модели, описывающей одновременно сильные, слабые и электромагнитные взаимодействия.

[Munin]

bayak в сообщении #909254 писал(а):

если вращение двух пар единичных окружностей $\left(z_1=e^{i\varphi_1}, z_2=e^{i\varphi_2}\right)$ представленно действием группы ортогональных преобразований $SO(2,\mathbb{R})$

А если нет?

Для начала, что такое "две пары единичных окружностей $\left(z_1=e^{i\varphi_1}, z_2=e^{i\varphi_2}\right)$"? Я здесь вижу только одну пару, или две окружности.