n-Гамильтонизация

[Munin]

(Не уверен в разделе форума, возможно, это стоит отнести в "Помогите разобраться (Математика)" и его подразделы).

Механика с точки зрения математики есть задача системы обыкновенных дифференциальных уравнений, заданных в явном виде. Обычно эта система выписывается либо в форме Лагранжа, $\tfrac{d^2}{dt^2}x(t)=F(x,\tfrac{d}{dt}x)$ в $d$-мерном конфигурационном пространстве, либо в форме Гамильтона $\tfrac{d}{dt}p(t)=F(x,p),\quad\tfrac{d}{dt}x(t)=p(t)$ в $2d$-мерном фазовом пространстве. Переход от формы Лагранжа к форме Гамильтона (ниже "гамильтонизация"), сам по себе очевидный, ведёт ко многим интересным математическим понятиям и идеям. Например:
- в конфигурационном пространстве может быть задана евклидова/гильбертова метрика (скалярное произведение и расстояние), в фазовом пространстве им соответствует симплектическая "метрика" (скобка Пуассона);
- геометрия римановых многообразий даёт основу геометрии симплектических многообразий;
- от групп преобразований, сохраняющих евклидову метрику (ортогональные группы), можно перейти к симплектическим группам, сохраняющим симплектическую форму ("метрику").

Но в данной картине есть один "настроечный параметр" - это показатель порядка 2 в уравнениях Лагранжа. Очевидно, что можно записать СОДУ $n$-го порядка $\tfrac{d^n}{dt^n}x(t)=F(x,\tfrac{d}{dt}x,\ldots),$ и совершить аналогичную $n$-гамильтонизацию, увеличив размерность пространства с $d$ до $nd,$ записав систему "$n$-Гамильтона"

$$\dfrac{d}{dt}p_{n-1}(t)=F(x,p_1,\ldots),\qquad\dfrac{d}{dt}x(t)=p_1(t),\qquad\dfrac{d}{dt}p_1(t)=p_2(t),\qquad\ldots$$

Возникает вопрос, происходит ли при этом столь же естественное $n$-обобщение всех перечисленных (и неперечисленных) понятий? Например, стандартная "$n$-симплектическая матрица" могла бы иметь вид

$$\Omega_{(n,d)}=\begin{pmatrix}0&I_d&&0\\&&\ddots&\\&0&&I_d\\(-1)^{n-1}I_d&&&0\\\end{pmatrix},$$

и так далее.

Известно ли кому-нибудь что-нибудь о таких обобщениях? Если это вещь общеизвестная, то как называется, и куда мне копать?

[Oleg Zubelevich]

известно, что любую систему $\dot x^i=v^i(x)$ можно "сделать" гамильтоновой ценой увеличения порядка вдвое (поднять в кокасательное расслоение). Гамильтониан $H(x,p)=p_iv^i$. Что используется в теории управления. Переход от уравнений Лагранжа к уравнениям Гамильтона (и обратно) не является тривиальным: это преобразование Лежандра, которое не всегда можно применить, например к гамильтониану , написанному выше, нельзя.
Про метрику в конфигурационном пространстве я знаю только в связи с натуральными системами.

-- Пн авг 18, 2014 22:07:13 --

Munin в сообщении #897180 писал(а):

в конфигурационном пространстве может быть задана евклидова/гильбертова метрика (скалярное произведение и расстояние), в фазовом пространстве им соответствует симплектическая "метрика"

что значит "может быть задана" и что значит "соответствует" , вообще говоря, непонятно.

-- Пн авг 18, 2014 22:26:09 --

Munin в сообщении #897180 писал(а):

либо в форме Гамильтона $\tfrac{d}{dt}p(t)=F(x,p),\quad\tfrac{d}{dt}x(t)=p(t)$

а это разве гамильтонова система? а какой у нее гамильтониан?

[Munin]

Я специально избегал преобразования Лежандра. Мой вопрос более простой. Хотел добавить это примечание даже в первое сообщение.

-- 19.08.2014 06:02:07 --

Oleg Zubelevich в сообщении #897188 писал(а):

что значит "может быть задана" и что значит "соответствует" , вообще говоря, непонятно.

Начал писать ответ, и понял, что сам недостаточно понимаю. Моё знакомство с симплектической структурой только самое начальное.

[scwec]

Насчет обобщений посмотрите здесь
http://www1.jinr.ru/Pepan/2008-v39/v-39-5/pdf/05_prok.pdf

[Munin]

Спасибо! Значит, называется эта штука "механика Остроградского".

Oleg Zubelevich в сообщении #897188 писал(а):

что значит "может быть задана" и что значит "соответствует" , вообще говоря, непонятно.

Отвечая на этот вопрос, видимо, правильная логическая цепочка такая: сначала ввести метрику (евклидову и симплектическую) вообще, а потом уже делать её локальной на многообразии. В этом смысле, у меня пункты переставлены.

-- 20.08.2014 22:47:24 --

Munin в сообщении #897968 писал(а):

Значит, называется эта штука "механика Остроградского".

А, не совсем она.

[type2b]

http://arxiv.org/pdf/0712.0946.pdf

[Munin]

Спасибо.

Кажется, это похоже на предыдущие ссылки.

Но у меня мысль была другая. Здесь по-прежнему рассматривается $2D$-мерное пространство, и симплектическая форма, связывающая между собой две координаты: сопряжённые координату и импульс. А у меня была мысль про $(N+1)D$-мерное пространство, и форму (уже не симплектическую!), связывающую между собой $N+1$ координат: сопряжённые координату и последовательность "старших импульсов".

В обозначениях статьи, это было бы экономией: вместо $2Nn$-мерного пространства, было бы $(N+1)n$-мерное пространство.

-- 13.09.2014 14:02:08 --

Может быть, мою мысль уже не так уж хорошо $n$-гамильтонизацией называть, но может быть, $n$-симплектизацией её назвать всё-таки можно...