интеграл Лебега

[Pastrini]

Пожалуйста, помогите разобраться! Расскажите как вычисляется интеграл Лебега?
или подбросте ссылочек, где есть показаны методы вычисления!
Пропадаю, по теории меры нигде нет литературы!

[AD]

В смысле - как вычисляется?

Определение интеграла Лебега знаете? Вот, по определению вычисляется.

Если у вас есть неотрицательная функция (любую функцию можно считать разностью двух неотрицательных, однако их надо подбирать так, чтобы интеграл хотя бы от одной функции был конечен, а если не удается, то интеграла Лебега не существует) , заданная на множестве конечной меры (например, на отрезке), то можно

а) строить последовательность "простых" функций (то есть принимающих конечное число значений), монотонно сходящуюся к нашей функции, и смотреть, куда стремятся их интегралы (равные сумме "значение*мера множества, на котором оно принимается").

б) строить последовательность "простых" функций (то есть принимающих счетное число значений), равномерно сходящуюся к нашей функции, и смотреть, куда стремятся их интегралы (равные сумме ряда из "значение*мера множества, на котором оно принимается", если ряд сходится абсолютно, и не существующие в противном случае).

в) никто не отменял формулу Ньютона-Лейбница и прочие радости: если $F$ - абсолютно непрерывная функция (например, липшицева, например, непрерывно дифференцируемая), то существует $(L)\int_a^bF'(x)\,d\mu(x)=F(b)-F(a)$.

г) есть такая мегаформула

$$(L)\int_Xfd\mu=(R)\int_0^\infty\mu\{x\in X: f(x)\ge y\}\ dy$$

,
причем конечность левой и правой частей эквивалентны. (по-прежнему, только для неотрицательных функций).

д) есть теоремы о предельных переходах Б.Леви, Фату и Лебега. Скажем, если $f_n(x)$ монотонно стремится к $f(x)$ для почти всех $x$, то и интегралы от $f_n$ сходятся к интегралу от $f$ (это Б.Леви), или еще вот так: если все $f_n(x)$ ограничены по модулю одной заведомо интегрируемой функцией $g(x)$ (что заведомо выполнено, если они, скажем, равномерно сходятся к интегрируемой функции) и почти всюду (или даже по мере) сходятся к некоторой $f(x)$, то интегралы от $f_n$ тоже сходятся к интегралу от $f$.

Добавлено спустя 11 минут 15 секунд:

Pastrini писал(а):

Пропадаю, по теории меры нигде нет литературы!

А вы где искали? В смысле, в каком городе? В Москве несколько мест знаю.

[Brukvalub]

А еще в любом учебнике по мере и интегралу Лебега доказывается, что, что, если функция интегрируема по Риману на отрезке, то она интегрируема на этом отрезке и по Лебегу по классической мере Лебега, и интегралы равны. Этот же факт верен для несобственного интеграла Римана от неотрицательной функции по отрезку.
Насчёт литературы: Колмогоров А.Н., Фомин С.В. — Элементы теории функций и функционального анализа
http://lib.mexmat.ru/books/6313

[AD]

... как это я забыл ... Да, и этот же факт верен для интеграла по области в $\mathbb{R}^n$, причем там даже для функций произвольного знака из несобственной интегрируемости по Риману следует интегрируемость по Лебегу (это такой грустный факт про несобственный n-мерный интеграл Римана).

А еще при вычислении n-мерного интеграла Лебега полезно знать теорему Фубини, там для неотрицательных функций двойной интеграл и повторный - это вообще одно и то же, а для любых надо предполагать существование двойного интеграла.