О безмассовом уравнении КФГ

[Arkhipov]

В ряде учебников для пояснения проблемы интерпретации релятивистских волновых функций приводится асимптотическая формула для амплитуды распространения частицы с положительной энергией из точки $0$ в точку $\mathbf{x}$.

$$e^{-m \sqrt{x^2-t^2}}$$

Отличное от нуля значение за световым конусом указывает на нарушение причинности. Тем не менее, такое объяснение оставляет ряд вопросов:
А что если масса нулевая?
В чем подлинная причина неприятностей (в решениях с положительной энергией или в исходном уравнении)?
Можно ли провести анализ в простом одномерном случае?

Предлагаю игрушечный пример для обсуждения:

Запишем уравнение, претендующее на описание безмассовых частиц в одномерном случае:

$$\frac{\partial^2 \phi}{\partial t^2}-\frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2}=0$$

Общее решение этого уравнения представляется суммой 2 членов в Фурье-пространстве:

$$\phi(x,t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int^{\infty}_{-\infty}{\left(a(p) e^{ipx-iEt} + b(p) e^{ipx+iEt}\right)dp}$$

Здесь $E=|p|$ - дисперсионное соотношение. Стандартная квантовомеханическая интерпретация второго слагаемого приводит к абсурду - энергия отрицательна. Первое, что можно предположить - таких состояний нет в природе $b(p)=0$.
Рассмотрим эту модель подробнее. Выберем начальное распределение в Гауссовом виде: $\phi(x,0)=e^{-\frac{x^2}{2}}$, $a(p)=e^{-\frac{p^2}{2}}, b(p)=0$ и посчитаем производную по времени в начальный момент:

$$\frac{\partial \phi}{\partial t} (x,0) =\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}{-i|p|e^{-\frac{p^2}{2}}e^{ipx}dp}$$

Покажем, что знак модуля приводит к нелокальности оператора:

$$\int_{0}^{\infty}{-ipe^{-\frac{p^2}{2}}e^{ipx}dp}=-\sqrt{2}\frac{\partial}{\partial x}\left(e^{-\frac{x^2}{2}}\int_{0-ix/\sqrt{2}}^{\infty-ix/\sqrt{2}}{e^{-z^2}dz}\right)=$$

$$=-\sqrt{\frac{\pi}{2}}\frac{\partial}{\partial x}\left(e^{-\frac{x^2}{2}}\left(1-\erf(-ix/\sqrt{2})\right)\right)$$

$$\int_{-\infty}^{0}{ipe^{-\frac{p^2}{2}}e^{ipx}dp}=\sqrt{2}\frac{\partial}{\partial x}\left(e^{-\frac{x^2}{2}}\int_{-\infty-ix/\sqrt{2}}^{0-ix/\sqrt{2}}{e^{-z^2}dz}\right)=$$

$$=\sqrt{\frac{\pi}{2}}\frac{\partial}{\partial x}\left(e^{-\frac{x^2}{2}}\left(1+\erf(-ix/\sqrt{2})\right)\right)$$

$$\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}{-i|p|e^{-\frac{p^2}{2}}e^{ipx}dp}=\frac{\partial}{\partial x}\left(e^{-\frac{x^2}{2}}\erf(-ix/\sqrt{2})\right)\approx\sqrt{\frac{2}{\pi}}\frac{i}{x^2}$$

Очевидно, что это медленно убывающая функция, то есть производная существенно отлична от нуля во всем пространстве. Следовательно, исходное предположение было неверным.

[Munin]

Arkhipov в сообщении #906203 писал(а):

Следовательно, исходное предположение было неверным.

Это какое именно?

[Arkhipov]

Прошу прощения, \erf не пропечатывается.

$$\int_{0}^{\infty}{-ipe^{-\frac{p^2}{2}}e^{ipx}dp}=-\sqrt{\frac{\pi}{2}}\frac{\partial}{\partial x}\left(e^{-\frac{x^2}{2}}\left(1-\mathbf{erf}(-ix/\sqrt{2})\right)\right)$$

$$\int_{-\infty}^{0}{ipe^{-\frac{p^2}{2}}e^{ipx}dp}=\sqrt{\frac{\pi}{2}}\frac{\partial}{\partial x}\left(e^{-\frac{x^2}{2}}\left(1+\mathbf{erf}(-ix/\sqrt{2})\right)\right)$$

$$\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}{-i|p|e^{-\frac{p^2}{2}}e^{ipx}dp}=\frac{\partial}{\partial x}\left(e^{-\frac{x^2}{2}}\mathbf{erf}(-ix/\sqrt{2})\right)\approx\sqrt{\frac{2}{\pi}}\frac{i}{x^2}$$

Очевидно, что это медленно убывающая функция, то есть производная существенно отлична от нуля во всем пространстве. Следовательно, исходное предположение было неверным.

-- 10.09.2014, 19:25 --

Munin в сообщении #906204 писал(а):

Arkhipov в сообщении #906203 писал(а):

Следовательно, исходное предположение было неверным.

Это какое именно?

Да, сказано неудачно. Думаю, как написать лучше.

[Munin]

Нету никакой отдельной команды \erf, пишите \operatorname{erf} или \mathrm{erf}.

Arkhipov в сообщении #906231 писал(а):

Да, сказано неудачно.

Да вы объясните по-простому, что оказалось неверным?

Как насчёт повторить выкладки для массивного случая?

[Arkhipov]

(Оффтоп)

Спасибо, не знал о \operatorname. А как Вы его покрасили?

[Munin]

(Оффтоп)

Тег tt на этом форуме специально сделан цветным, чтобы заодно подсвечивать синтаксис.

-- 10.09.2014 17:19:37 --

\operatorname отличается от \mathrm ещё и расстановкой пробелов (как у функции \sin, например), позволяет ставить "пределы" сверху и снизу, как у \lim или \sum, и примерно эквивалентен \mathop{\mathrm{}}.

[Arkhipov]

Munin в сообщении #906242 писал(а):

Как насчёт повторить выкладки для массивного случая?

Не получается, там этот корень дурацкий.

[Arkhipov]

Munin в сообщении #906204 писал(а):

Это какое именно?

Можно было бы ответить просто: предположение $b(p)=0$, то есть отсутствие в сигнале волн с отрицательной энергией, но для того, чтобы это стало очевидным пришлось проделать все заново
Проанализируем в чем причина неприятностей. Рассмотрим пакет, движущийся с некоторым средним импульсом:
$\phi(x,0)=e^{ip_0x}e^{-\frac{x^2}{2}}$, $a(p)=e^{-\frac{(p-p_0)^2}{2}}, b(p)=0$
Тогда:

$$\frac{\partial \phi}{\partial t} (x,0) =\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}{-i|p|e^{-\frac{(p-p_0)^2}{2}}e^{ipx}dp}$$

$$\int_{0}^{\infty}{-ipe^{-\frac{(p-p_0)^2}{2}}e^{ipx}dp}=-\sqrt{2}\frac{\partial}{\partial x}\left(e^{ip_0x}e^{-\frac{x^2}{2}}\int_{(-p_0-ix)/\sqrt{2}}^{\infty-ix/\sqrt{2}}{e^{-z^2}dz}\right)=$$

$$=-\sqrt{\frac{\pi}{2}}\frac{\partial}{\partial x}\left(e^{ip_0x}e^{-\frac{x^2}{2}}\left(1-\operatorname{erf}(-p_0-ix/\sqrt{2})\right)\right)$$

$$\int_{-\infty}^{0}{ipe^{-\frac{p^2}{2}}e^{ipx}dp}=\sqrt{2}\frac{\partial}{\partial x}\left(e^{ip_0x}e^{-\frac{x^2}{2}}\int_{-\infty-ix/\sqrt{2}}^{(-p_0-ix)/\sqrt{2}}{e^{-z^2}dz}\right)=$$

$$=\sqrt{\frac{\pi}{2}}\frac{\partial}{\partial x}\left(e^{ip_0x}e^{-\frac{x^2}{2}}\left(1+\operatorname{erf}(-p_0-ix/\sqrt{2})\right)\right)$$

$$\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}{-i|p|e^{-\frac{p^2}{2}}e^{ipx}dp}=-\frac{\partial}{\partial x}\left(e^{ip_0x}e^{-\frac{x^2}{2}}\operatorname{erf}((p_0+ix)/\sqrt{2})\right) \approx-\frac{\partial}{\partial x}\left(e^{ip_0x}e^{-\frac{x^2}{2}}\right)-\sqrt{\frac{2}{\pi}}i\frac{e^{-\frac{p_0^2}{2}}}{(p_0+ix)^2}$$

Теперь видно, что если $p_0>>1$, то есть пакет содержит много длин волн, то вклад решений с отрицательной энергией сильно подавлен.

[Munin]

Я чего-то не понимаю в нити ваших рассуждений: сначала вы полагаете $b(p)=0,$ а затем рассуждаете об их величине.

[Arkhipov]

Боюсь, Вы немного лукавите Вы прекрасно знаете, что невозможно задать одновременно $a(p)$ и $b(p)$. Придется его квантовать

[Munin]

Я просто пытаюсь читать ваш текст. Из

Arkhipov в сообщении #906203 писал(а):

$$\phi(x,t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int^{\infty}_{-\infty}{\left(a(p) e^{ipx-iEt} + b(p) e^{ipx+iEt}\right)dp}$$

не видно, почему бы их нельзя было задать одновременно. Банальные коэффициенты Фурье.

[Arkhipov]

Попробую спасти модельку без квантования. Более-менее очевидно, что все разумные решения должны представляться двумя типами:

$$\frac{\partial \phi^+}{\partial t}=-\frac{\partial \phi^+}{\partial x}$$

$$\frac{\partial \phi^-}{\partial t}=\frac{\partial \phi^-}{\partial x}$$

$$\phi^+(x,t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int^{\infty}_{0}{\left(a(p) e^{ipx-iEt} + a(-p) e^{-ipx+iEt}\right)dp}$$

$$\phi^-(x,t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int^{\infty}_{0}{\left(a(-p) e^{ipx-iEt} + a(p) e^{-ipx+iEt}\right)dp}$$

Другими словами:

$$a(p>0)=e^{-\frac{(p-p_0)^2}{2}}, \quad a(p<0)=0, \quad b(p>0)=0, \quad b(p<0)=e^{-\frac{(p-p_0)^2}{2}}$$

$$a(p<0)=e^{-\frac{(p-p_0)^2}{2}}, \quad a(p>0)=0, \quad b(p<0)=0, \quad b(p>0)=e^{-\frac{(p-p_0)^2}{2}}$$

При больших $p_0$ - это будут почти чистые частица и античастица. Правда интерпретировать второе не просто - импульс положительный, а бежит назад.

[Munin]

Вы просто напрасно переобозначили коэффициент не $a(p),$ а $a(-p).$ Верните на место (добавьте индекс $\pm$), и всё будет хорошо.