Как доказать иррациональность?

[TOTAL]

$p\sqrt2+q\sqrt3+r\sqrt{\frac23}=t$
Предположив, что $t$ рациональное, найдите его два раза, возведя в квадрат
$p\sqrt2+r\sqrt{\frac23}=t-q\sqrt3$
и
$q\sqrt3+r\sqrt{\frac23}=t-p\sqrt2$

[ewert]

nokados в сообщении #906929 писал(а):

$8(\frac13\frac{m^2r^2}{n^2}+\frac{2pqmr}{n} + 3p^2q^2) = (\frac{m^2}{n^2}+\frac23r^2-2p^2-3q^2)^2$
И что с этим можем сделать?

С этим -- ничего особенно хорошего. Я просил не раскрывать скобки, а, наоборот, убрать квадрат.

[patzer2097]

а вообще, есть простой способ доказать, что корни из простых чисел линейно независимы над $\mathbb{Q}$?

UPD. Позже я нашел тут несколько довольно непростых доказательств этого факта.

[Evgenjy]

nokados в сообщении #906830 писал(а):

Помогите, пожалуйста, с доказательством

В вашем случае все совсем просто из-за дополнительных соотношений подкоренных выражений. Приравняйте сумму рациональному числу, перенесите в другую часть уравнения $p\sqrt2$ и возведите уравнение в квадрат. У Вас останется только один корень из двух. Дальше все понятно?

[nnosipov]

patzer2097 в сообщении #906948 писал(а):

а вообще, есть простой способ доказать, что корни из простых чисел линейно независимы над $\mathbb{Q}$?

Смотря что считать простым способом. Вообще говоря, вполне можно обойтись без теории Галуа, особенно в вещественном случае (случай, когда допускаются комплексные значения радикалов, сложнее), но базовые вещи о расширениях полей знать надо. Элементарное, но сложное и искусственное доказательство было опубликовано в "Кванте" ещё в начале 70-х.

[Evgenjy]

ИСН в сообщении #906896 писал(а):

Здесь надо возводить в квадрат ещё больше раз. Когда-то новые корни перестанут появляться. Потом комбинировать.

Новые корни перестанут появляться, но вы будете иметь уравнение с еще большим количеством корней квадратных. Значит нужно увеличивать количество уравнений, как это сделано у Sender. Каким образом составлена система уравнений достаточно ясно из вида формулы. Метод этот можно применить к сумме любого числа корней из неполных квадратов. Однако у этого метода есть существенный недостаток.
Есть другой более эффективный метод.

[patzer2097]

Я имел в виду какое-нибудь короткое доказательство, демонстрирующее нетривиальные идеи, но теперь вижу, что это вряд ли возможно. Впрочем, может что-то вроде такого подойдет? (Кстати ТС может попробовать найти там ответы на свои вопросы.)

[nnosipov]

patzer2097 в сообщении #907087 писал(а):

Впрочем, может что-то вроде такого подойдет?

Надо будет посмотреть. Пока заметил ссылки на знакомые работы (Besicovitch, Mordell). Случай квадратных радикалов, конечно, самый простой.

[scwec]

Простое решение общего случая с $n$ квадратными корнями можно найти в В.В.Прасолов
"Задачи по алгебре, арифметике и анализу" 2005 г. Задача 6.19в (решение на стр.79).
Рядом рассмотрены также два и три корня.

[nnosipov]

Задача 6.19в --- это всё-таки урезанная версия утверждения (все радикалы берутся только со знаком плюс). А вот задача 6.20 --- то, что надо, но там стандартное доказательство по индукции.