стационарная теория возмущений

[illuminates]

Разбираюсь со стационарной теорией возмущений для невырожденного случая. Обычно в ней записывают задачу на собственные значения и раскладывают в ряд. $E(\lamda)=E_0+\lambda$ E_2+...$ и $\mid\psi>=\mid0> +\lambda \mid1> + ...$
Потом приравнивают члены одинаковой малости. Кроме того, что-бы найти поправки к энергии и собственному вектору в первом порядке малости раскладывают $\mid1>$ по $\mid0>$. Вроде бы понятно. Но в Коене Таннуджи (том 2 стр 340) дан какой-то иной подход, который я не понимаю, но хотелось бы понять ибо очень он изящный. Дело в том, что там обозначается $\mid0>=\mid\psi_{n}>$ что по факту является тождеством. Далее для вычисления поправок первого порядка малости соотвествующие уравнение проецируется сначала на $\mid\psi_{n}>$ что в принципе логично (ведь это базисные функции не возмущённого гамильтониана), НО потом проецирование ведётся на $\mid\psi_{p}^{i}>$. О них говорится, что это тоже функции не возмущённого гамильтониана. При этом, что $\mid\psi_{n}>$ соответствует лишь одной энергетической ветке, а $\mid\psi_{p}^{i}>$ всем остальным (имеется ввиду зависимость $E$ от $\lambda$). Я этого момента не понимаю. Да ещё индекс i означает вырожденность. А мы рассматриваем не вырожденный случай. Как такое может быть?

[illuminates]

Так же не понятно почему в нормировке $<1\mid \mid0>=0$ под $\mid0>$ подразумевается $\mid\psi_{n}>$, чем хуже $\mid\psi_{p}^{i}>$? $\mid\psi_{p}^{i}>$ должен, на сколько я понимаю включать в себя $\mid\psi_{n}>$. Ведь и тот, и тот вектор - это базисные функции не возмущённого гамильтониана.

[warlock66613]

illuminates в сообщении #904920 писал(а):

Да ещё индекс i означает вырожденность. А мы рассматриваем не вырожденный случай. Как такое может быть?

Невырожденный случай означает только, что интересующий нас уровень энергии $E_n$ невырожден - соответствующее состояние $\left| \psi_n \right\rangle$ одно с такой энергией. А вот энергии других состояний ($\left| \psi_p^i \right\rangle$, $p \ne n$) могут совпадать, поэтому их приходится нумеровать двумя индексами - номером уровня (нижний индекс) и номером состояния в ряду всех состояний с такой энергией (верхний индекс).

-- 09.09.2014, 23:42 --

illuminates в сообщении #904989 писал(а):

$\mid\psi_{p}^{i}>$ должен, на сколько я понимаю включать в себя $\mid\psi_{n}>$

Там везде оговорка $p \ne n$, так что $\left| \psi_p^i \right\rangle$ - это все базисные состояния, кроме $\left| \psi_n \right\rangle$.

-- 09.09.2014, 23:56 --

illuminates в сообщении #904920 писал(а):

проецируется сначала на $\mid\psi_{n}>$ что в принципе логично (ведь это базисные функции не возмущённого гамильтониана)

Нет. $\left| \psi_n \right\rangle$ - это не базисные функции. Это только одна, конкретная функция. Индекс $n$ - не бегущий, а фиксированный (это номер уровня, энергию и функцию которого мы хотим вычислить). Базисные функции - это $\left| \psi_n \right\rangle$ и все $\left| \psi_p^i \right\rangle$, $p \ne n$. Вот индекс $p$ - как раз бегущий. Так что как раз по базису и производится разложение.


(Кстати, базисные функции не привязаны к какому-либо гамильтониану. Если они базисные, то они базисные при любом гамильтониане. Другое дело, что не всегда стационарные).

[illuminates]

warlock66613
Тогда я не понимаю одного. Мы нормировали собственные вектора гамильтониана $<\psi(\lambda)\mid \psi(\lambda)>=1$. Отсюда следовал набор равенст, два из которых (для нулевого и первого порядка) гласят: $<0\mid 0>=1$ и $<1\mid 0>=0$. Но под $\mid 0>$ мы же понимаем любой вектор из базиса {$\left| \psi_n \right\rangle$; $\left| \psi_p^i \right\rangle$, $p \ne n$}. Почему же тогда мы вместо любого вектора пишем $\mid 0>=\mid\psi_{n}>$? Разве не любой вектор из этого базиса должен обладать этим свойством?

[warlock66613]

illuminates в сообщении #906629 писал(а):

Разве не любой вектор из этого базиса должен обладать этим свойством?

Любой, в том числе и $\left| \psi_n \right\rangle$. Можно представить это всё так: возьмите интересующую вас часть книги и замените (можно мысленно, а лучше, раз такие затруднения, реально отксерить/распечатать страницы книги и прямо исправить) везде $n$ на $1$. Прочтите - всё должно быть понятно и правильно, т. к. не будет смущающего вас $n$. Теперь вы можете опять отксерить/распечатать этот кусок и заменить $n$ на $2$. И опять прочтите - опять всё должно быть понятно и правильно. И так далее для всех $n$ от 1 до бесконечности (если уровней бесконечно много). Теперь сложите вместе все распечатки - вот как книга могла бы вяглядеть. Много бумаги, надо как-то сокращать. Значит что делаем? Меняем в первой части обратно $1$ на $n$ и в начале пишем "Пусть $n$ равно $1$". Потом менаяем по второй части обратно $2$ на $n$ и в начале пишем "Пусть $n$ теперь равно $2$". И т. д. А после этого замечаем, что куски одинаковые, и можно оставить только один и написать в начале "$n$ - любое" - собственно так и сделал автор книги.

[illuminates]

warlock66613
Вы не поняли вопроса. Переформулирую. Почему для $<\psi_n\mid \psi_n>=1$ и $<\psi_n\mid 1>=0$ выполняются эти равенства, а для $<\psi_p^i\mid \psi_p^i>=1$ и $<\psi_p^i\mid 1>=0$ не выполняются?

[warlock66613]

illuminates в сообщении #906979 писал(а):

Почему для $<\psi_n\mid \psi_n>=1$ и $<\psi_n\mid 1>=0$ выполняются эти равенства, а для $<\psi_p^i\mid \psi_p^i>=1$ и $<\psi_p^i\mid 1>=0$ не выполняются?

Выполняются. Только вектор $\left|1\right\rangle$ для каждого $\left|\psi_p^i\right\rangle$ свой - вот для него выполняется.

[illuminates]

Не знаю поймём ли мы когда нибудь друг друга. Смотрите:
$<\psi_p^i\mid 1>=1/(E_n^0-E_p^0) <\psi_p^i\mid W\mid\psi_n>$ Почему левая часть этого равенства не равна нулю?

[warlock66613]

illuminates в сообщении #907189 писал(а):

Почему левая часть этого равенства не равна нулю?

Ну а почему она должна быть равна нулю?
$\left| 1 \right\rangle$ - это ведь поправка именно к $\left|\psi_n\right\rangle$. Можно добавить к единичке индекс, чтоб стало понятнее: $\left| 1 \right\rangle \equiv \left| 1_n \right\rangle$. Конечно $\left\langle \psi_p^i \mid 1_p^i \right\rangle = 0$, но $\left\langle \psi_p^i \mid 1 \right\rangle \equiv \left\langle \psi_p^i \mid 1_n \right\rangle \ne 0$.

[illuminates]

Большое Вам спасибо. Теперь всё встало на свои места.