Включение нижнего предела множеств в верхний

[Unknown00056]

Нужно доказать, что $\liminf A_n\subset \limsup A_n$. т.е. Из $x\in\liminf A_n\Rightarrow x\in\limsup A_n$
Получается

$$x\in\liminf A_n =\bigcup\limits_{n=1}^\infty\bigcap\limits_{m=n}^\infty A_m \Rightarrow\exists n\geqslant 1 \ x\in\bigcap\limits_{m=n}^\infty A_m \Rightarrow\exists n\geqslant 1\ \forall m\geqslant n\ x\in A_m $$

$$x\in\limsup A_n =\bigcap\limits_{n=1}^\infty\bigcup\limits_{m=n}^\infty A_m \Rightarrow\forall n\geqslant 1 \ x\in\bigcup\limits_{m=n}^\infty A_m \Rightarrow\forall n\geqslant 1\ \exists m\geqslant n\ x\in A_m $$

Как доказать вот это следствие? Чувствую, что это так, но не могу понять.

$$ \exists n\geqslant 1\ \forall m\geqslant n\ x\in A_m \Rightarrow \forall n\geqslant 1\ \exists m\geqslant n\ x\in A_m$$

[Brukvalub]

А если словами:нижний предел последовательности множеств состоит из тех и только тех элементов этих множеств, которые входят во все множества последовательности с достаточно большими номерами (т.е. начиная с некоторого номера), а верхний предел состоит....

[Unknown00056]

Ага. Понятно. Если элемент входит во все множества последовательности начиная с некоторого номера, то элемент принадлежит бесконечному числу множеств последовательности. Криво получилось. Суть понятна.
А если значками, то так?

$$\exists n \geqslant 1\ \forall m\geqslant n\ x\in A_m \Rightarrow \forall k\geqslant 1\ \exists l=\begin{cases} n,&\text{$k\leqslant n$}\\ k,&\text{$k>n$} \end{cases}\ \geqslant k \ x\in A_l\Rightarrow x\in\limsup A_n$$

[Brukvalub]

Да.