Ограниченность и сходимость функции

[Arastas]

Добрый день!

Есть функция $x(t) \in \mathbb{R}^n$. Про нее известно, что: $x(t) \in \mathcal{L}_\infty$, ее производная $\dot{x}(t) \in \mathcal{L}_\infty$ и $\int_0^t{x^\top(t)\,x(t)dt} \in \mathcal{L}_\infty$, т.е. $x(t) \in \mathcal{L}_2$. Отсюда по лемме Барбалата я заключаю, что $x(t) \to 0$. Можно ли теперь утверждать, что $\int_0^t{x(t)dt}$ ограничен?

[gris]

а $x(t)=1/(t+1)$ не удовлетворяет условиям?
Может быть я не понял серединки текта, но стремление к нулю не является достаточным условием сходимости несобственного интеграла. Ограниченность ведь по $t$ подразумевается?

[Brukvalub]

Я знаю вот такую лемму Барбалата. Хорошо бы получить ссылку на использованную вами лемму Барбалата.

[ewert]

Какая разница, что за лемма. Стремление к нулю очевидно и безо всяких лемм, причём при гораздо более слабых условиях (очевидно достаточно ограниченности лишь производной и сходимости на бесконечности любой из интегральных норм). Надеяться же на вложенность эль-два в эль-один при таких допусловиях (ограниченность самой функции, ограниченность производной, да пусть даже и стремление функции к нулю) как-то наивно -- ведь все эти допусловия выполняются, в сущности, для "случая общего положения".

-- Ср сен 10, 2014 22:27:03 --

(Оффтоп)

Brukvalub в сообщении #906384 писал(а):

Я знаю вот такую
лемму Барбалата.

Вы её не знаете. Тут -- лемма Барбалата, у Вас же -- всего лишь Barbalat’s.

[Arastas]

ewert писал(а):

Надеяться же на вложенность эль-два в эль-один при таких допусловиях (ограниченность самой функции, ограниченность производной, да пусть даже и стремление функции к нулю) как-то наивно -- ведь все эти допусловия выполняются, в сущности, для "случая общего положения".

Спасибо за ответ. Хочу только отметить, что мне нужно не эль-один, а покомпонентная ограниченность интеграла функции, без нормы. Это ведь не равнозначные вещи?
Но, похоже, оно тоже не выполняется. А жаль, я надеялся что эль-два что-то тут даст.

А скажите, пожалуйста, что вы имеете ввиду под "случай общего положения"? Может, есть какие-то дополнительные условия, при которых интеграл функции будет ограничен?

-- 10.09.2014, 23:07 --

gris в сообщении #906380 писал(а):

а $x(t)=1/(t+1)$ не удовлетворяет условиям?

Да, спасибо, похоже на подходящий пример.

[ewert]

Arastas в сообщении #906464 писал(а):

покомпонентная ограниченность интеграла функции, без нормы. Это ведь не равнозначные вещи?

Равнозначные.

Arastas в сообщении #906464 писал(а):

Может, есть какие-то дополнительные условия, при которых интеграл функции будет ограничен?

Может, и есть. Условий много можно выдумать.

Arastas в сообщении #906464 писал(а):

что вы имеете ввиду под "случай общего положения"?

Некую лирику. Для функций из эль-пэ на бесконечности типично стремление к нулю на бесконечности и всё прочее; и именно на таких отнюдь неэкзотических случаях невхождение в эль-один и наблюдается.