Схемы аксиом и Теоремы Гёделя

[grizzly]

Не являясь специалистом в дисциплинах мат.логики, споткнулся о непонимание простых вопросов (односложных ответов на некоторые за разумное время найти не получилось). Я сформулирую свои вопросы утверждениями и буду благодарен хотя бы за пару-тройку букв ответа на каждый из них (можно сократить и до И/Л :)

1. Аксиоматика Пеано для арифметики содержит бесконечное количество аксиом (в логике первого порядка).
2. В этом "виновата" аксиома (схема аксиом) индукции.
3. Эта схема содержит счётное количество аксиом.
4. Существуют теории, основанные на несчётном количестве аксиом.
5. Теория, в которой работает трансфинитная индукция, где-то в основаниях содержит схемы аксиом, равносильные несчётному набору аксиом в логике первого порядка.
6. Если континуум-гипотеза не принята, то количество аксиом в какой-нибудь теории может быть между счётным и несчётным.
7. В условиях теорем Гёделя нет ограничения сверху на количество аксиом, следовательно она остаётся в силе для теорий с количеством аксиом любой мощности.
8. Доказательство теорем Гёделя может быть проведено явным (конструктивным) построением нужных невыводимых утверждений в теориях с количеством аксиом любой мощности.

Здесь, конечно, есть совершенно очевидные утверждения, но я их оставляю в интересах списка.

[arseniiv]

1, 2, 3 — да.
4 — как правило, формул теории счётное число, тогда несчётное число аксиом туда не влезет. Об используемости теорий с несчётным числом формул ничего не скажу.
6 — уточните вопрос. Любое множество, большее по мощности счётного, называется несчётным.

[grizzly]

arseniiv в сообщении #906086 писал(а):

6 — уточните вопрос. Любое множество, большее по мощности счётного, называется несчётным.

Я про континуум, конечно.
Спасибо.

[Xaositect]

grizzly в сообщении #906083 писал(а):

5. Теория, в которой работает трансфинитная индукция, где-то в основаниях содержит схемы аксиом, равносильные несчётному набору аксиом в логике первого порядка.

Нет. Например, ZFC содержит счетное количество аксиом.

Про теории с несчетным числом аксиом - это возможно только в случае, когда в алфавите несчетное число символов, такое обычно не рассматривается. У теоремы Геделя в условиях есть рекурсивная аксиоматизируемость, если ее каким-то разумным образом определить на строках над несчетным алфавитом, то доказательство теоремы Геделя должно пройти.

[grizzly]

Уф! могу пока спокойно жить дальше.
Спасибо!